Esercizio calcolo integrale 31

Devo risolvere l'integrale indefinito

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$

Posso seguire diverse strade

Primo metodo

L'integrale da risolvere è

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$

Utilizzo il metodo della sostituzione e introduco una variabile ausiliaria t=√x

$$ t = \sqrt{x} $$

Calcolo il differenziale della variabile t=√x

$$ dt = d( \sqrt{x} ) $$

$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx$$

e da questo ricavo dx

$$ dx = 2 \sqrt{x} \ dt $$

Poi sostituisco dx nell'integrale

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ ( 2 \sqrt{x} \ dt ) $$

e semplifico

$$ \int 2 \cdot \cos \sqrt{x} \ dt $$

$$ 2 \cdot \int \cos \sqrt{x} \ dt $$

Sostituisco t=√x

$$ 2 \cdot \int \cos t \ dt $$

L'integrale di cos(t) è sin(t)+c

$$ 2 \cdot \sin(t) + c $$

Sapendo che t=√x

$$ 2 \sin( \sqrt(x) ) + c $$

Quest'ultima è la soluzione dell'integrale

Secondo metodo

L'integrale da risolvere è

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$

Applico il metodo della sostituzione introducendo una variabile ausiliaria t=√x

$$ t = \sqrt{x} $$

Poi calcolo il differenziale dt

$$ dt = d( \sqrt{x} ) $$

$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx$$

La componente dx/√x si trova nell'integrale.

$$ 2 dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx$$

Sostituisco dx/√x con 2dt nell'integrale

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$

$$ \int \cos \sqrt{x} \cdot [ \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx ] $$

$$ \int \cos \sqrt{x} \cdot [ 2 \ dt ] $$

$$ 2 \int \cos \sqrt{x} \ dt $$

Sostituisco la variabile t=√x

$$ 2 \int \cos t \ dt $$

L'integrale di cos(t) è sin(t)+c

$$ 2 \sin(t) + c $$

Sapendo che t=√x

$$ 2 \sin( \sqrt(x) ) + c $$

Quest'ultima è la soluzione dell'integrale

Terzo metodo

L'integrale da risolvere è

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$

Sapendo che

$$ d ( \sin \sqrt{x} ) = \cos( \sqrt{x} ) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx $$

Ricavo una parte dell'integrale

$$ 2 \cdot d ( \sin \sqrt{x} ) = \frac{\cos( \sqrt{x} )}{\sqrt{x}} \ dx $$

Sostituisco la parte dell'integrale

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$

$$ \int 2 \cdot d ( \sin \sqrt{x} ) $$

$$ 2 \int 1 \ d ( \sin \sqrt{x} ) $$

Introduco la variabile ausiliaria t=sin(√x)

$$ 2 \int 1 \ dt $$

L'integrale ∫1 dt = t+c

$$ 2 t + c $$

Sapendo che t=sin(√x)

$$ 2 \sin \sqrt{x} + c $$

Quest'ultima è la soluzione dell'integrale

E così via

 


 

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