Esercizio calcolo integrale 31
Devo risolvere l'integrale indefinito
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$
Posso seguire diverse strade
Primo metodo
L'integrale da risolvere è
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$
Utilizzo il metodo della sostituzione e introduco una variabile ausiliaria t=√x
$$ t = \sqrt{x} $$
Calcolo il differenziale della variabile t=√x
$$ dt = d( \sqrt{x} ) $$
$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx$$
e da questo ricavo dx
$$ dx = 2 \sqrt{x} \ dt $$
Poi sostituisco dx nell'integrale
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ ( 2 \sqrt{x} \ dt ) $$
e semplifico
$$ \int 2 \cdot \cos \sqrt{x} \ dt $$
$$ 2 \cdot \int \cos \sqrt{x} \ dt $$
Sostituisco t=√x
$$ 2 \cdot \int \cos t \ dt $$
L'integrale di cos(t) è sin(t)+c
$$ 2 \cdot \sin(t) + c $$
Sapendo che t=√x
$$ 2 \sin( \sqrt(x) ) + c $$
Quest'ultima è la soluzione dell'integrale
Secondo metodo
L'integrale da risolvere è
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$
Applico il metodo della sostituzione introducendo una variabile ausiliaria t=√x
$$ t = \sqrt{x} $$
Poi calcolo il differenziale dt
$$ dt = d( \sqrt{x} ) $$
$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx$$
La componente dx/√x si trova nell'integrale.
$$ 2 dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx$$
Sostituisco dx/√x con 2dt nell'integrale
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$
$$ \int \cos \sqrt{x} \cdot [ \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx ] $$
$$ \int \cos \sqrt{x} \cdot [ 2 \ dt ] $$
$$ 2 \int \cos \sqrt{x} \ dt $$
Sostituisco la variabile t=√x
$$ 2 \int \cos t \ dt $$
L'integrale di cos(t) è sin(t)+c
$$ 2 \sin(t) + c $$
Sapendo che t=√x
$$ 2 \sin( \sqrt(x) ) + c $$
Quest'ultima è la soluzione dell'integrale
Terzo metodo
L'integrale da risolvere è
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$
Sapendo che
$$ d ( \sin \sqrt{x} ) = \cos( \sqrt{x} ) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx $$
Ricavo una parte dell'integrale
$$ 2 \cdot d ( \sin \sqrt{x} ) = \frac{\cos( \sqrt{x} )}{\sqrt{x}} \ dx $$
Sostituisco la parte dell'integrale
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \ dx $$
$$ \int 2 \cdot d ( \sin \sqrt{x} ) $$
$$ 2 \int 1 \ d ( \sin \sqrt{x} ) $$
Introduco la variabile ausiliaria t=sin(√x)
$$ 2 \int 1 \ dt $$
L'integrale ∫1 dt = t+c
$$ 2 t + c $$
Sapendo che t=sin(√x)
$$ 2 \sin \sqrt{x} + c $$
Quest'ultima è la soluzione dell'integrale
E così via
