Esercizio calcolo integrale 11

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$

Introduco una variabile ausiliaria u

$$ t = \sqrt{x} $$

Calcolo il differenziale in entrambi i membri

$$ D_t[t] = D_x[\sqrt{x}] $$

$$ 1 \ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx $$

$$ 2 \ dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx $$

Sostituisco quest'ultima parte nell'integrale con 2dt

$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$

$$ \int (1 + e^{ \sqrt{x}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$

$$ \int (1 + e^{ \sqrt{x}}) \cdot 2 \ dt $$

Sapendo che t=√x

$$ \int (1 + e^{t}) \cdot 2 \ dt $$

$$ \int (2 + 2e^{t}) \ dt $$

$$ \int (2 \ dt + \int 2 e^{t}) \ dt $$

$$ 2 \int ( \ dt + 2 \int e^{t}) \ dt $$

$$ 2t + 2 e^t +c $$

Sostituisco t con x e ottengo l'integrale

$$ 2 \sqrt{x} + 2 e^{ \sqrt{x} } +c $$

    Metodo alternativo

    Per risolvere l'integrale

    $$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$

    Introduco una variabile ausiliaria u

    $$ t = \sqrt{x} $$

    Da quest'ultima ricavo la x elevando entrambi i membri al quadrato

    $$ t^2 = (\sqrt{x})^2 $$

    $$ t^2 = x $$

    Calcolo il differenziale di entrambi i membri

    $$ D_t[t^2] = D_x[x] $$

    $$ 2t \ dt = 1 \ dx $$

    $$ 2t \ dt = dx $$

    A questo punto sostituisco dx=2t dt nell'integrale

    $$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ 2t \ dt $$

    Poi sostituisco x=t2

    $$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{t^2}}}{\sqrt{t^2}} \ 2t \ dt $$

    $$ \int \frac{1 + e^{t}}{t} \ 2t \ dt $$

    $$ \int (1 + e^t) \cdot 2 \ dt $$

    $$ \int 2 + 2e^t \ dt $$

    $$ \int 2 \ dt + \int 2e^t \ dt $$

    $$ 2 \int \ dt + 2 \int e^t \ dt $$

    $$ 2t + 2 e^t + c $$

    Sostituisco t con x e ottengo l'integrale

    $$ 2 \sqrt{x} + 2 e^{ \sqrt{x} } +c $$

    E' lo stesso risultato

    E così via

     


     

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