Esercizio calcolo integrale 11
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$
Introduco una variabile ausiliaria u
$$ t = \sqrt{x} $$
Calcolo il differenziale in entrambi i membri
$$ D_t[t] = D_x[\sqrt{x}] $$
$$ 1 \ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx $$
$$ 2 \ dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx $$
Sostituisco quest'ultima parte nell'integrale con 2dt
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$
$$ \int (1 + e^{ \sqrt{x}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$
$$ \int (1 + e^{ \sqrt{x}}) \cdot 2 \ dt $$
Sapendo che t=√x
$$ \int (1 + e^{t}) \cdot 2 \ dt $$
$$ \int (2 + 2e^{t}) \ dt $$
$$ \int (2 \ dt + \int 2 e^{t}) \ dt $$
$$ 2 \int ( \ dt + 2 \int e^{t}) \ dt $$
$$ 2t + 2 e^t +c $$
Sostituisco t con x e ottengo l'integrale
$$ 2 \sqrt{x} + 2 e^{ \sqrt{x} } +c $$
Metodo alternativo
Per risolvere l'integrale
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$
Introduco una variabile ausiliaria u
$$ t = \sqrt{x} $$
Da quest'ultima ricavo la x elevando entrambi i membri al quadrato
$$ t^2 = (\sqrt{x})^2 $$
$$ t^2 = x $$
Calcolo il differenziale di entrambi i membri
$$ D_t[t^2] = D_x[x] $$
$$ 2t \ dt = 1 \ dx $$
$$ 2t \ dt = dx $$
A questo punto sostituisco dx=2t dt nell'integrale
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ 2t \ dt $$
Poi sostituisco x=t2
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{t^2}}}{\sqrt{t^2}} \ 2t \ dt $$
$$ \int \frac{1 + e^{t}}{t} \ 2t \ dt $$
$$ \int (1 + e^t) \cdot 2 \ dt $$
$$ \int 2 + 2e^t \ dt $$
$$ \int 2 \ dt + \int 2e^t \ dt $$
$$ 2 \int \ dt + 2 \int e^t \ dt $$
$$ 2t + 2 e^t + c $$
Sostituisco t con x e ottengo l'integrale
$$ 2 \sqrt{x} + 2 e^{ \sqrt{x} } +c $$
E' lo stesso risultato
E così via
