La sottrazione tra frazioni algebriche

La differenza tra due frazioni algebriche che hanno lo stesso denominatore è una frazione algebrica che ha per numeratore la differenza algebrica dei numeratori e per denominatore lo stesso denominatore. $$ \frac{A}{B} - \frac{C}{B} = \frac{A-C}{B} $$

Come calcolare la sottrazione nelle frazioni algebriche

Per calcolare la differenza tra due frazioni algebriche

1. Se il denominatore è diverso, trasformo le due frazioni nello stesso denominatore.
   • Scompongo i polinomi nei denominatori in fattori e trovo la condizione di esistenza
   • Calcolo il minimo comune multiplo dei polinomi al denominatore
   • Applico la proprietà invariantiva delle frazioni per fare in modo che ogni frazione algebrica abbia al denominatore il minimo comune multiplo
2. Calcolo la differenza dei polinomi al numeratore delle frazioni algebriche mantenendo lo stesso denominatore.

Nota. Una volta calcolata la differenza, scompongo in fattori anche il polinomio al numeratore per semplificare la frazione algebrica in una forma irriducibile. Il metodo di calcolo della sottrazione è uguale al calcolo della somma algebrica tra frazioni.

Un esempio pratico

Considero la differenza tra le frazioni algebriche

$$ \frac{x+1}{xy^2} - \frac{x-1}{x^2y} - \frac{y+x^2}{x^2y^2} $$

Le frazioni hanno il denominatore diverso.

Quindi, devo scomporre in fattori i polinomi e calcolo il minimo comune multiplo dei polinomi al denominatore nelle frazioni.

$$ \text{mcm} (xy^2,x^2y,x^2y^2) = x^2y^2 $$

Il minimo comune multiplo dei polinomi al denominatore è x²y²

A questo punto, applico la proprietà invariantiva delle frazioni per avere lo stesso denominatore, uguale al minimo comune multiplo, in ogni frazione algebrica

$$ \frac{x+1}{xy^2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x-1}{x^2y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{y+x^2}{x^2y^2} $$

$$ \frac{x(x+1)}{x^2y^2} - \frac{y(x-1)}{x^2y^2} - \frac{y+x^2}{x^2y^2} $$

$$ \frac{x^2+x}{x^2y^2} - \frac{xy-y}{x^2y^2} - \frac{y+x^2}{x^2y^2} $$

Adesso le tre frazioni algebriche hanno lo stesso denominatore.

Quindi, posso calcolare la differenza dei numeratori delle frazioni mantenendo lo stesso denominatore.

$$ \frac{(x^2+x)-(xy-y)-(y+x^2)}{x^2y^2} $$

$$ \frac{x^2+x-xy+y-y-x^2}{x^2y^2} $$

$$ \frac{x-xy}{x^2y^2} $$

Scompongo in fattori il numeratore

$$ \frac{x(1-y)}{x^2y^2} $$

Poi semplifico

$$ \frac{1-y}{xy^2} $$

Il risultato è la differenza algebrica delle frazioni in una forma irriducibile.

E così via.