Le frazioni algebriche equivalenti
Due frazioni algebriche sono equivalenti se hanno lo stesso quoziente e resto $$ \frac{A}{B} \sim \frac{C}{D} $$, dove A,B,C,D sono polinomi. In questo caso il loro prodotto in croce è uguale. $$ A \cdot D = C \cdot B $$
In altre parole, se il prodotto tra il polinomio A al numeratore della prima frazione per il polinomio D al denominatore della seconda è uguale al prodotto tra il polinomio C al numeratore della seconda frazione per il polinomio B al denominatore della prima.
$$ A \cdot D = C \cdot B $$
Se il prodotto in croce è uguale, allora le due frazioni algebriche A:B e B:C hanno lo stesso quoziente e resto.
$$ \frac{A}{B} \sim \frac{C}{D} $$
Quindi, sono due frazioni algebriche equivalenti.
Nota. E' lo stesso concetto già visto nelle frazioni equivalenti numeriche applicato alle frazioni algebriche. In questo caso, i termini non sono numeri ma polinomi. Il concetto di equivalenza tra le frazioni è comunque lo stesso.
Un esempio pratico
Considero queste due frazioni algebriche
$$ \frac{2}{a+b} $$
$$ \frac{2a+2b}{(a+b)^2} $$
Devo verificare se sono frazioni equivalenti.
Per farlo calcolo il loro prodotto in croce e controllo se è uguale.
$$ 2 \cdot (a+b)^2 = (2a+2b) \cdot (a+b) $$
$$ 2 \cdot (a^2+2ab+b^2) = 2a \cdot (a+b) + 2b \cdot (a+b) $$
$$ 2a^2+4ab+2b^2 = 2a^2+2ab + 2ab + 2b^2 $$
$$ 2a^2+4ab+2b^2 = 2a^2+4ab+ 2b^2 $$
Il prodotto in croce è uguale.
Quindi, le due frazioni sono equivalenti.
$$ \frac{2}{a+b} \sim \frac{2a+2b}{(a+b)^2} $$
Nota. Questo vuol dire che se assegno alle lettere "a" e "b" due valori qualsiasi che rispettino le condizioni di esistenza delle frazioni, le due frazioni algebriche hanno lo stesso quoziente. Ad esempio, assegno i valori a=2 e b=3 alle due frazioni. $$ \frac{2}{a+b} = \frac{2a+2b}{(a+b)^2} $$ $$ \frac{2}{2+3} = \frac{2(2)+2(3)}{(2+3)^2} $$ $$ \frac{2}{5} = \frac{4+6}{5^2} $$ $$ \frac{2}{5} = \frac{10}{25} $$ $$ \frac{2}{5} = \frac{2}{5} $$ Il quoziente della divisione è lo stesso.
La dimostrazione
Considero due frazioni algebriche con lo stesso quoziente e resto
$$ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplico entrambi i membri per il polinomio B e semplifico
$$ \frac{A}{B} \cdot B = \frac{C}{D} \cdot B $$
$$ A = \frac{C}{D} \cdot B $$
Sempre applicando la proprietà invariantiva delle equazioni, moltiplico entrambi i membri per il polinomio D e semplifico.
$$ A \cdot D = \frac{C}{D} \cdot B \cdot D $$
$$ A \cdot D = C \cdot B $$
Il loro prodotto in croce è uguale.
Quindi, due frazioni algebriche sono equivalenti se il loro prodotto in croce è uguale.
E così via.
