La somma di frazioni algebriche

La somma di due o più frazioni algebriche che hanno lo stesso denominatore è una frazione algebrica che ha per numeratore la somma algebrica dei numeratori e per denominatore lo stesso denominatore. $$ \frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A+C}{B} $$

Come sommare due o più frazioni algebriche

Per calcolare l'addizione tra due o più frazioni algebriche

1. Se il denominatore è diverso, riduco le due frazioni allo stesso denominatore.
   • Scompongo i polinomi nei denominatori in fattori e individuo la condizione di esistenza
   • Calcolo il minimo comune multiplo dei polinomi al denominatore delle frazioni
   • Applico la proprietà invariantiva delle frazioni per ottenere il minimo comune multiplo al denominatore di ogni frazione algebrica
2. Sommo i numeratori delle frazioni algebriche mantenendo lo stesso denominatore.

Nota. Una volta ottenuto il risultato dell'addizione, scompongo in fattori anche il numeratore per semplificare la frazione algebrica della somma in una forma irriducibile.

Un esempio pratico

Considero la somma tra le frazioni algebriche

$$ \frac{x+1}{xy^2} + \frac{x-1}{x^2y} + \frac{y+x^2}{x^2y^2} $$

Le frazioni hanno il denominatore differente.

Quindi, scompongo in fattori i polinomi per calcolare il minimo comune multiplo dei polinomi al denominatore nelle frazioni.

$$ \text{mcm} (xy^2,x^2y,x^2y^2) = x^2y^2 $$

Il minimo comune multiplo dei polinomi al denominatore è x²y²

Applico la proprietà invariantiva delle frazioni per ottenere lo stesso denominatore, uguale al minimo comune multiplo, in ogni frazione

$$ \frac{x+1}{xy^2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x-1}{x^2y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{y+x^2}{x^2y^2} $$

$$ \frac{x(x+1)}{x^2y^2} + \frac{y(x-1)}{x^2y^2} + \frac{y+x^2}{x^2y^2} $$

$$ \frac{x^2+x}{x^2y^2} + \frac{xy-y}{x^2y^2} + \frac{y+x^2}{x^2y^2} $$

Ora le frazioni hanno lo stesso denominatore.

Quindi, posso sommare algebricamente i numeratori delle frazioni mantenendo lo stesso denominatore.

$$ \frac{x^2+x+xy-y+y+x^2}{x^2y^2} $$

$$ \frac{2x^2+x+xy}{x^2y^2} $$

Scompongo in fattori il numeratore

$$ \frac{x(2x+y+1)}{x^2y^2} $$

Poi semplifico

$$ \frac{2x+y+1}{xy^2} $$

Il risultato è la somma algebrica delle frazioni, scritta in una forma irriducibile.

E così via.