La condizione di esistenza di una frazione algebrica

La condizione di esistenza di una frazione algebrica $$ \frac{f(x)}{g(x)} $$ richiede che il denominatore sia sempre diverso da zero $$ C.E. \ g(x) \ne 0 $$ dove f(x) e g(x) sono due espressioni algebriche che contengono la variabile x.

E' una regola che deve essere soddisfatta affinché la frazione algebrica abbia un significato matematico valido.

In altre parole, la condizione di esistenza stabilisce le restrizioni sulle variabili della frazione algebrica che evitano eventuali divisioni per zero, perché la divisione per zero è un'operazione impossibile in matematica..

Pertanto, una frazione algebrica è definita per tutti i valori delle variabili che non annullano il denominatore.

Questa condizione è detta condizione di esistenza e si indica con la sigla C.E.

Un esempio pratico

Considero questa frazione algebrica

$$ \frac{x}{x-2} $$

Se il denominatore si annulla, la frazione algebrica diventa indefinita e non ha un valore matematico valido.

In questo caso il denominatore (x-2) si annulla quando x=2.

Quindi, la condizione di esistenza è

$$ C.E. \ x \ne 2 $$

La frazione algebrica non è definita in x=2 perché in questo punto non posso calcolare la frazione.

La frazione algebrica esiste per ogni altro valore di x diverso da da 2.

Spiegazione. Nel punto x=2 si verifica una divisione per zero nella frazione algebrica. $$ \frac{x}{x-2} = \frac{2}{2-2} = \frac{2}{0} $$ La divisione per zero è impossibile perché, in base alla definizione della divisione, dovrebbe esiste un quoziente q tale che moltiplicato per il divisore (0) dia come risultato il dividendo (2) $$ \frac{2}{0} = q \ \Leftrightarrow \ q \cdot 0 = 2 $$ Tuttavia, il prodotto di qualsiasi quoziente q moltiplicato per zero è sempre uguale a zero, perché lo zero è l'elemento assorbente del prodotto. $$ q \cdot 0 = 0 $$ Quindi, non esiste un prodotto q·0 uguale a 2. Pertanto, la divisione per zero è un'operazione è impossibile.

E così via.