La divisione tra frazioni algebriche
Il quoziente della divisione di due frazioni algebriche è uguale al prodotto della prima frazione algebrica per il reciproco della seconda frazione algebrica. $$ \frac{A}{B} \ : \ \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} $$
Come calcolare la divisione tra due frazioni algebriche
Per dividere due frazioni algebriche
- Trasformo la divisione in un prodotto
- Sostituisco la seconda frazione con il suo reciproco
- Calcolo la moltiplicazione
Il risultato finale è la frazione algebrica quoziente.
Nota. E' il metodo più semplice e rapido per calcolare la divisione tra due frazioni algebriche.
Un esempio pratico
Considero questa divisione tra frazioni
$$ \frac{2x}{3y} : \frac{4y}{3z} $$
ossia
$$ \frac{ \frac{2x}{3y} }{ \frac{4y}{3z} } $$
Trasformo la divisione nel prodotto della prima frazione per il reciproco della seconda frazione.
$$ \frac{2x}{3y} \cdot \frac{3z}{4y} $$
Verifico se ci sono semplificazioni
$$ \frac{2x}{\require{cancel} \cancel{3}y} \cdot \frac{\cancel{3}z}{4y} $$
$$ \frac{\cancel{2}x}{y} \cdot \frac{z}{\cancel{4}y} $$
$$ \frac{x}{y} \cdot \frac{z}{2y} $$
Infine, procedo con il calcolo del prodotto delle frazioni.
$$ \frac{x \cdot z}{y \cdot 2y} $$
$$ \frac{xz}{2y^2} $$
Il risultato è il quoziente della divisione.
$$ \frac{2x}{3y} : \frac{4y}{3z} = \frac{xz}{2y^2} $$
La dimostrazione
Considero questa divisione generica tra due frazioni algebriche
$$ \frac{A}{B} \ : \ \frac{C}{D} $$
Dove A,B,C,D sono polinomi.
Riscrivo la divisione come frazione.
$$ \frac{ \frac{A}{B} }{ \ \frac{C}{D} } $$
Per la proprietà invariantiva delle frazioni moltiplico sia il numeratore che il denominatore per la frazione reciproca del deonominatore ossia per D/C
$$ \frac{ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} }{ \ \frac{C}{D} \cdot \frac{D}{C} } $$
A questo punto semplifico il denominatore
$$ \frac{ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} }{ \ \frac{\cancel{C}}{D} \cdot \frac{D}{\cancel{C}} } $$
$$ \frac{ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} }{ \ \frac{1}{\cancel{D}} \cdot \frac{\cancel{D}}{1} } $$
$$ \frac{ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} }{ \ \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} } $$
$$ \frac{ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} }{ 1 } $$
$$ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} $$
Questo dimostra l'equivalenza tra la divisione di due frazioni algebriche e il prodotto del numeratore per il reciproco del denominatore.
E così via.
