La moltiplicazione delle frazioni algebriche

La moltiplicazione tra due frazioni algebriche è una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. $$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$$

Come calcolare il prodotto tra due frazioni algebriche

Per moltiplicare due frazioni algebriche

1. Scompongo in fattori i numeratori e i denominatori delle frazioni algebriche
2. Semplifico le frazioni con una semplificazione verticale, sulla stessa frazione, e in croce.
3. Moltiplico i numeratori tra loro e i denominatori tra loro.

Il risultato finale è la frazione algebrica del prodotto.

Nota. Una volta ottenuto il prodotto tra le due frazioni, eventualmente semplifico la frazione algebrica per trasformarla in una forma equivalente irriducibile. A volte capita che qualche semplificazione sfugga di mano nelle fasi precedenti.

Un esempio pratico

Esempio 1

Considero questa moltiplicazione tra frazioni

$$\frac{2x}{3y} \cdot \frac{4y}{3z}$$

Procedo con la semplificazione delle frazioni in verticale e in croce

$$\frac{2x}{3 \require{cancel} \cancel{y}} \cdot \frac{4 \cancel{y}}{3z}$$

$$\frac{2x}{3} \cdot \frac{4}{3z}$$

Moltiplico i numeratori e i denominatori tra loro

$$\frac{2x \cdot 4}{3 \cdot 3z}$$

$$\frac{8x}{9z}$$

Il risultato finale è la frazione algebrica del prodotto.

Esempio 2

Devo moltiplicare queste frazioni

$$\frac{4x^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{2x}$$

Scompongo le frazioni in fattori

$$\frac{2^2x^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{2x}$$

Nella prima frazione c'è una differenza di quadrati al denominatore.

$$\frac{2^2x^2}{(x-y) \cdot (x+y)} \cdot \frac{x+y}{2x}$$

Procedo con la semplificazione in verticale e in croce delle frazioni.

$$\frac{2^2x^2}{(x-y) \cdot \require{cancel} \cancel{(x+y)}} \cdot \frac{\cancel{x+y}}{2x}$$

$$\frac{2^{\cancel{2}}x^2}{x-y} \cdot \frac{1}{\cancel{2}x}$$

$$\frac{2x^\cancel{2}}{x-y} \cdot \frac{1}{\cancel{x}}$$

$$\frac{2x}{x-y} \cdot \frac{1}{1}$$

Moltiplico i numeratori tra loro e i denominatori tra loro

$$\frac{2x \cdot 1}{(x-y) \cdot 1}$$

$$\frac{2x}{x-y}$$

Il risultato finale è la frazione algebrica del prodotto in una forma irriducibile.

E così via.