La moltiplicazione delle frazioni algebriche
La moltiplicazione tra due frazioni algebriche è una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. $$ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $$
Come calcolare il prodotto tra due frazioni algebriche
Per moltiplicare due frazioni algebriche
- Scompongo in fattori i numeratori e i denominatori delle frazioni algebriche
- Semplifico le frazioni con una semplificazione verticale, sulla stessa frazione, e in croce.
- Moltiplico i numeratori tra loro e i denominatori tra loro.
Il risultato finale è la frazione algebrica del prodotto.
Nota. Una volta ottenuto il prodotto tra le due frazioni, eventualmente semplifico la frazione algebrica per trasformarla in una forma equivalente irriducibile. A volte capita che qualche semplificazione sfugga di mano nelle fasi precedenti.
Un esempio pratico
Esempio 1
Considero questa moltiplicazione tra frazioni
$$ \frac{2x}{3y} \cdot \frac{4y}{3z} $$
Procedo con la semplificazione delle frazioni in verticale e in croce
$$ \frac{2x}{3 \require{cancel} \cancel{y}} \cdot \frac{4 \cancel{y}}{3z} $$
$$ \frac{2x}{3} \cdot \frac{4}{3z} $$
Moltiplico i numeratori e i denominatori tra loro
$$ \frac{2x \cdot 4}{3 \cdot 3z} $$
$$ \frac{8x}{9z} $$
Il risultato finale è la frazione algebrica del prodotto.
Esempio 2
Devo moltiplicare queste frazioni
$$ \frac{4x^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{2x} $$
Scompongo le frazioni in fattori
$$ \frac{2^2x^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{2x} $$
Nella prima frazione c'è una differenza di quadrati al denominatore.
$$ \frac{2^2x^2}{(x-y) \cdot (x+y)} \cdot \frac{x+y}{2x} $$
Procedo con la semplificazione in verticale e in croce delle frazioni.
$$ \frac{2^2x^2}{(x-y) \cdot \require{cancel} \cancel{(x+y)}} \cdot \frac{\cancel{x+y}}{2x} $$
$$ \frac{2^{\cancel{2}}x^2}{x-y} \cdot \frac{1}{\cancel{2}x} $$
$$ \frac{2x^\cancel{2}}{x-y} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} $$
$$ \frac{2x}{x-y} \cdot \frac{1}{1} $$
Moltiplico i numeratori tra loro e i denominatori tra loro
$$ \frac{2x \cdot 1}{(x-y) \cdot 1} $$
$$ \frac{2x}{x-y} $$
Il risultato finale è la frazione algebrica del prodotto in una forma irriducibile.
E così via.
