La semplificazione delle frazioni algebriche
Per semplificare una frazione algebrica
- Scompongo i polinomi al numeratore e al denominatore in una forma irriducibile tramite la fattorizzazione.
- Individuo la condizione di esistenza della frazione algebrica (C.E.)
- Per la proprietà invariantiva divido entrambi i polinomi per i fattori in comune
- Il risultato è la frazione semplificata
Nota. La semplificazione è possibile solo tra fattori. Non è possibile tra addendi. Ad esempio, questa frazione è semplificabile per la lettera "a" $$ \frac{a}{ac} = \frac{\frac{a}{a}}{ \frac{ac}{a}} = \frac{1}{c} $$ Viceversa quest'altra non è semplificabile per la lettera "a" $$ \frac{a}{a+b} $$
Un esempio pratico
Considero questa frazione algebrica
$$ \frac{6x^2-12x+6}{x^2-1} $$
La condizione di esistenza è
$$ C.E. \ = \ x \ne 1 \ ∧ \ x \ne -1$$
Scompongo i polinomi in una forma irriducibile
$$ \frac{6x^2-12x+6}{x^2-1} $$
$$ \frac{3 \cdot 2 \cdot x^2- 3 \cdot 2^2 \cdot x+ 3 \cdot 2}{x^2-1} $$
Al denominatore c'è una differenza tra quadrati
$$ \frac{3 \cdot 2 \cdot x^2- 3 \cdot 2^2 \cdot x+ 3 \cdot 2}{(x-1) \cdot (x+1)} $$
Raccolgo e metto in evidenza
$$ \frac{3 \cdot 2 \cdot ( x^2- 2 \cdot x+ 1}{(x-1) \cdot (x+1)} $$
Al numeratore c'è il quadrato di un binomio
$$ \frac{3 \cdot 2 \cdot (x-1)^2}{(x-1) \cdot (x+1)} $$
I polinomi al numeratore e al denominatore sono entrambi divisibili per (x-1)
Quindi, per la proprietà invariantiva delle frazioni, divido il numeratore e il denominatore per il fattore in comune (x-1)
$$ \frac{ \frac{3 \cdot 2 \cdot (x-1)^2}{(x-1)} }{ \frac{(x-1) \cdot (x+1)}{(x-1)} } $$
Poi semplifico
$$ \frac{3 \cdot 2 \cdot (x-1)}{(x+1)} $$
Pertanto, la frazione semplificata è la seguente
$$ \frac{6 \cdot (x-1)}{(x+1)} $$
E' una frazione equivalente alla frazione iniziale.
E così via.
