Differenza tra campo generale e campo numerico
Un campo numerico è una sottoclasse del campo generale in cui gli elementi sono numeri.
- Campo (o field): in senso algebrico un campo è qualsiasi struttura che soddisfa le proprietà di un campo, non necessariamente con numeri, ma anche con elementi più astratti come funzioni, polinomi o altre entità algebriche. E' formata da un insieme di elementi e due operazioni (solitamente addizione e moltiplicazione) che soddisfano una serie di proprietà.
- Campo di numeri: un campo i cui elementi sono numeri o estensioni di campi numerici, spesso utilizzati in teoria dei numeri. Per esempio, il campo dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \), il campo dei numeri reali \( \mathbb{R} \) o il campo dei numeri complessi \( \mathbb{C} \).
Inoltre, in teoria algebrica dei numeri, il termine "campo di numeri" può indicare un'estensione finita del campo dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \), come \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), che è il campo ottenuto aggiungendo \( \sqrt{2} \) ai razionali.
Quindi, un campo numerico è un tipo specifico di campo. In generale, ogni campo numerico è un campo, ma non tutti i campi sono campi numerici.
Un esempio pratico
Ecco un esempio pratico per chiarire la distinzione tra un campo numerico e un campo generale:
Esempio 1
Considero il campo dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \), che è l'insieme di tutte le frazioni del tipo \( \frac{a}{b} \), dove \( a \) e \( b \) sono numeri interi e \( b \neq 0 \).
In \( \mathbb{Q} \), si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (tranne la divisione per zero) rispettando le proprietà di un campo.
- Addizione: \( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} \)
- Moltiplicazione: \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- Divisione (tranne che per 0): \( \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \)
Questo è un esempio di campo numerico, perché è un campo in cui gli elementi sono numeri fra i quali posso svolgere le operazioni.
Esempio 2
Ora considero il campo delle funzioni razionali \( \mathbb{F}(x) \), che è l'insieme di tutte le funzioni razionali, cioè i quozienti di polinomi con coefficienti in un campo \( \mathbb{F} \).
Ad esempio, posso avere \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \), dove \( p(x) \) e \( q(x) \) sono polinomi e \( q(x) \neq 0 \).
In questo caso le operazioni avvengono tra **funzioni razionali**, non numeri, ma il sistema continua a rispettare le proprietà di un campo.
- Addizione: Se \( f(x) = \frac{1}{x+1} \) e \( g(x) = \frac{2}{x+2} \), allora \( f(x) + g(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{3x+4}{(x+1)(x+2)} \).
- Moltiplicazione: \( f(x) \times g(x) = \frac{1}{x+1} \times \frac{2}{x+2} = \frac{2}{(x+1)(x+2)} \).
- Divisione: \( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \frac{1}{x+1}}{\frac{2}{x+2}} = \frac{x+2}{2(x+1)} \).
Questo è un esempio di campo generale, non numerico, perché gli elementi sono espressioni algebriche (polinomi o quozienti di polinomi), non semplici numeri.
E così via.
