Il quantificatore universale ed esistenziale
I quantificatori sono espressioni usate nel linguaggio logico-matematico per definire le proprietà di un insieme di elementi.
A cosa servono?
I quantificatori trasformano gli enunciati aperti in proposizioni vere o false.
Esistono due tipi di quantificatori:
- Il quantificatore esistenziale
Il quantificatore esistenziale afferma l'esistenza di almeno un elemento dell'insieme che gode di una determinata proprietà. Si legge "esiste almeno" ed è indicato con il seguente simbolo.
- Il quantificatore universale
Il quantificatore universale prende in considerazione tutti gli elementi di un insieme che hanno una determinata proprietà. Si legge "per ogni" ed è indicato con il seguente simbolo.
- Il quantificatore esistenziale
Il quantificatore esistenziale afferma l'esistenza di almeno un elemento dell'insieme che gode di una determinata proprietà. Si legge "Esiste un" ed è indicato con il seguente simbolo.
Nota. Nella notazione matematica i quantificatori sono spesso associati con il simbolo : che significa "tale che". In alcuni testi si usa anche una barra verticale | come simbolo della parola "tale che".
Un esempio pratico
Considero l'insieme finito A
$$ A=\{3,6,9,12,15,18 \} $$
Per affermare che esiste almeno un elemento dell'insieme A che sia multiplo di 6 uso il quantificatore esistenziale ∃
$$ \exists \ x \ \in A \ | \ \text{x è multiplo di 6} $$
Si legge "esiste almeno un elemento x dell'insieme A tale che x è multiplo di 6".
In questo caso ci sono tre elementi di A che soddisfano questa proprietà (6, 12, 18).
Esempio 2
Considero l'insieme finito A
$$ A=\{3,6,9,12,15,18 \} $$
Per affermare che tutti gli elementi dell'insieme A quando sono multipli di 6 sono anche multipli di 3 uso il quantificatore universale ∀
$$ \forall \ x \ \in A \ | \ \text{x è multiplo di 6} \ \Rightarrow \ \text{x è multiplo di 3} $$
Si legge "per ogni elemento x dell'insieme A tale che x è multiplo di 6, x è multiplo di 3".
Gli elementi di A multipli di 6 sono (6, 12, 18). Questi sono anche multipli di 3.
E così via.
