Le operazioni con le proposizioni logiche
Nella logica matematica le operazioni permettono di elaborare una o più proposizioni per ottenere una nuova proposizione come risultato.
La nuova proposizione (output) ha una propria tavola di verità che dipende dall'operazione e dalle proposizioni di origine (input).
Cos'è la tabella di verità? La tabella di verità consente di associare alla nuova proposizione ( terza colonna ) l'attributo vero (v) o falso (f), in base al valore di verità delle proposizioni di origine ( prima e seconda colonna ).
Per approfondire il concetto di "proposizione logica" clicca qui.
Le principali operazioni sulle proposizioni sono la negazione, la congiunzione e la disgiunzione.
La negazione logica
La negazione è un'operazione logica su una proposizione.
Il simbolo della negazione logica è ¬ oppure ~.
Data una proposizione p, la negazione consiste nel negare la sua tabella di verità.
La tavola di verità della negazione logica è la seguente:
Esempio. Nella prima riga la proposizione logica A è vera (v). La sua negazione logica ~A è falso (f). Nella seconda riga la proposizione logica A è falsa (f). La sua negazione logica ~A è vera (v).
La negazione nega la proposizione logica.
Un errore comune è credere che fornisca altre informazioni.
Esempio. Se la proposizione P è "sta piovendo". La sua negazione ~P è "non sta piovendo". Ciò non vuol dire che sia necessariamente una bella giornata. Non esclude che ci sia una tormenta di neve, un uragano, ecc. Se affermo che "la neve è bianca", la sua negazione è "la neve non è bianca". La negazione non indica qual è il colore della neve ( nera, rossa, blu, ecc. ). Dice soltanto che non è bianca. E così via.
La doppia negazione
La negazione della negazione ( o doppia negazione logica ) è sempre la proposizione di partenza.
In questo caso le proposizioni A e ~~A sono dette proposizioni equivalenti.
Da questo si desume che:
- un numero pari qualsiasi di negazioni di una stessa proposizione può essere eliminato
~~A = A
- un numero dispari qualsiasi di negazioni di una stessa proposizione può essere semplificato a una sola negazione
~~~A=~A
La congiunzione logica
La congiunzione è un'operazione logica tra due proposizioni.
Il simbolo della congiunzione logica è ∧.
Date due proposizioni p e q, la loro congiunzione è vera se entrambe sono vere.
La tavola di verità della congiunzione è la seguente:
Quindi, la nuova proposizione è vera soltanto quando le due proposizioni logiche sono vere.
Nota. In questo caso la tavola di verità è composta da quattro righe perché le assegnazioni degli stati (vero, falso) delle due proposizioni p e q sono quattro. In tutto sono quattro combinazioni possibili.
La congiunzione logica equivale all'operatore logico AND ossia alla congiunzione "e".
Va precisato che la congiunzione non implica alcuna successione.
Nota. Nel linguaggio comune, spesso la congiunzione "e" implica la successione temporale tra due proposizioni. Ad esempio, "sono andato a casa e ho preso l'ombrello". Nella logica matematica non ha questo significazione temporale (andreaminini.org). Nella logica matematica potrei anche aver preso l'ombrello prima di andare a casa. La congiunzione è comunque vera.
La disgiunzione logica
La disgiunzione è un'altra operazione logica fondamentale.
Il simbolo della disgiunzione logica è ∨
Date due proposizioni logiche p e q, la disgiunzione logica p∨q è vera se almeno una delle due proposizioni p o q è vera.
La tavola della disgiunzione logica è la seguente:
La disgiunzione equivale all'operatore OR ossia alla "o/oppure" del linguaggio naturale.
Nella logica matematica la disgiunzione è inclusiva.
Nota. Nell'accezione inclusiva la disgiunzione è vera se "almeno una" delle due proposizioni che la compongono è vera. Quindi, la disgiunzione inclusiva è vera anche se "entrambe" le proposizioni sono vere.
La differenza tra disgiunzione inclusiva ed esclusiva
Nel linguaggio comune la "o" può avere sia un'accezione esclusiva che inclusiva.
Esempio
Nel linguaggio parlato la frase "mangi la minestra o salti dalla finestra" è una disgiunzione esclusiva.
Ammette che sia vera soltanto una delle due proposizioni. Non possono essere vere entrambe.
Nota. Si dice "esclusiva" perché soltanto una delle due proposizioni può essere vera. Nella logica matematica è la disgiunzione esclusiva è l'operatore XOR. Gli operatori OR e XOR non sono la stessa cosa. Hanno tavole di verità differenti. Per indicare l'operazione XOR si aggiunge un punto sopra il simbolo V.
Nella logica matematica, invece, la disgiunzione p∨q è sempre inclusiva ( OR ).
Quindi, le due proposizioni p e q possono anche essere entrambe vere.
E' opportuno non confondersi.
