Piani paralleli, coincidenti e incidenti nello spazio

Due piani nello spazio R³ possono essere paralleli, coincidenti o incidenti.

• Sono piani paralleli se non hanno punti in comune.
• Sono piani coincidenti se sono paralleli e hanno in comune tutti i punti del piano.
• Sono piani incidenti se hanno in comune gli infiniti punti della retta incidente tra i due piani.

Come verificare se due piani sono paralleli, coincidenti o incidenti

Per capire se due piani sono paralleli, coincidenti o incidenti nello spazio, devo analizzare la dipendenza lineare dei vettori direttori dei piani.

• Se i vettori sono linearmente dipendenti, i piani sono paralleli o coincidenti.
• Se i vettori sono linearmente indipendenti, i piani sono incidenti.

Come si misura la dipendenza lineare dei vettori?

I due piani sono identificati da due equazioni vettoriali/parametriche.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} l_1 \\ m_1 \\ n_1 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} l_2 \\ m_2 \\ n_2 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x'_0 \\ y'_0 \\ z'_0 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} l_3 \\ m_3 \\ n_3 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} l_4 \\ m_4 \\ n_4 \end{pmatrix} $$

Prendo i quattro vettori direttori e li dispongo in colonna in una matrice.

$$ \begin{pmatrix} l_1 & l_2 &l_3 &l_4 \\ m_1 & m_2 & m_3 & m_4 \\ n_1 & n_2 & n_3 & n_4 \end{pmatrix}$$

Poi calcolo il rango della matrice.

• Se il rango della matrice è uguale o inferiore a 2, i vettori sono linearmente dipendenti. I due piani sono paralleli oppure incidenti. $$ r_k \begin{pmatrix} l_1 & l_2 &l_3 &l_4 \\ m_1 & m_2 & m_3 & m_4 \\ n_1 & n_2 & n_3 & n_4 \end{pmatrix} \le 2 $$

  Nota. Per capire se sono paralleli o coincidenti, basta verificare se un punto di un piano appartiene anche all'altro. Se il punto appartiene a entrambi i piani, i piani sono coincidenti. Viceversa, sono paralleli.

• Se il rango della matrice è uguale a 3, i vettori sono linearmente indipendenti. I due piani sono incidenti. $$ r_k \begin{pmatrix} l_1 & l_2 &l_3 &l_4 \\ m_1 & m_2 & m_3 & m_4 \\ n_1 & n_2 & n_3 & n_4 \end{pmatrix} = 3 $$

Il caso delle equazioni cartesiane

Nel caso delle equazioni cartesiane del piano

$$ a_1 x + b_1 y+ c_1 z + d_1 = 0$$

$$ a_2 x + b_2 y+ c_2 z + d_2 = 0$$

i vettori sono linearmente dipendenti se il rango della matrice dei coefficienti è uguale a 1.

In questo caso i piani sono paralleli o coincidenti.

$$ r_k \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{pmatrix} = 1 $$

i vettori sono linearmente indipendenti se il rango della matrice dei coefficienti è uguale a 1.

In questo caso i piani sono incidenti.

$$ r_k \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{pmatrix} = 2 $$

Esempio

Esempio 1 ( equazioni parametriche )

Ho due piani nello spazio

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Metto i vettori direttori in matrice.

Poi calcolo il rango.

$$ r_k \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -3 & -1 \\ 2 & 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = 2$$

Il rango della matrice è due.

Quindi, i vettori sono linearmente dipendenti.

Il piano è parallelo distinto o coincidente.

Come verifico se i piani sono paralleli o coincidenti?

Prendo un punto della prima retta e verifico se appartiene anche all'altra.

So già che P(0,0,0) appartiene al primo piano.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Sostituisco le coordinate (0,0,0) nell'equazione del secondo piano e verifico se l'equazione è soddisfatta.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

La trasformo in equazione parametrica.

$$ \begin{cases} 0 = 0 + t_2 \\ 0 = 1 -3t_1 -t_2 \\ 0 = 0 +6t_1 +t_2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} t_2 = 0 \\ 1 -3t_1 - (0) = 0 \\ 6t_1 + (0) = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} t_2 = 0 \\ t_1 = \frac{1}{3} \\ 6t_1 = 0 \end{cases} $$

Il sistema non ha una soluzione.

Il punto P(0,0,0) non appartiene al secondo piano e i due piani non sono coincidenti.

Quindi, sono due piani paralleli.

Esempio equazioni cartesiane

Ho due equazioni cartesiane:

$$ x+2y+z=0 $$

$$ 2x+4y+2z-5=0 $$

Costruisco la matrice dei coefficienti.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$

Poi calcolo il rango della matrice

$$ r_k \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$

Il rango della matrice è uguale a 1.

Quindi i vettori sono linearmente dipendenti, ossia paralleli o incidenti.

Come verificare se sono piani paralleli o incidenti?

Calcolo le coordinate di un punto della prima equazione mettendo a zero due coordinate a mia scelta.

Ad esempio, x=0 e y=0.

$$ x+2y+z=0 $$

$$ 0+20+z=0 $$

$$ z=0 $$

Ottengo così le coordinate di un punto del primo piano.

$$ P ( x,y,z ) = P(0,0,0 ) $$

Sostituisco le coordinate del punto P(0,0,0) nell'equazione del secondo piano.

$$ 2x+4y+2z-5=0 $$

$$ 2(0)+4(0)+2(0)-5=0 $$

$$ -5=0 $$

L'equazione non è soddisfatta.

Pertanto il punto del primo piano P(0,0,0) non appartiene anche al secondo piano.

I due piani non possono essere coincidenti.

So due piani paralleli.

E così via.