L'equazione del piano per tre punti non allineati

Dati tre punti non allineati nello spazio R³, per i tre punti P₁, P₂ e P₃ passa un unico piano. $$ P_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \:\:\: P_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \:\:\: P_3 \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \end{pmatrix} $$

Come determinare le equazioni parametriche del piano

Dai i tre punti ottengo due vettori direttori:

$$ v_1 = P_1P_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix} $$

$$ v_2 = P_1P_3 = \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3 - x_1 \\ y_3 - y_1 \\ z_3 - z_1 \end{pmatrix} $$

A questo punto verifico che siano linearmente indipendenti.

I due vettori possono generare il piano, ossia formano un generatore dello spazio vettoriale, soltanto se sono vettori linearmente indipendenti.

Due vettori sono linearmente indipendenti se il rango della matrice costruita con i due vettori in colonna è uguale al numero dei vettori.

$$ r_k \begin{pmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \\ z_2 - z_1 & z_2 - z_1 \end{pmatrix} = 2 $$

Una volta appurato l'indipendenza lineare dei due vettori, scelgo uno dei tre punti come punto P₀ qualsiasi del piano.

Ad esempio, scelgo il punto P₁.

$$ P_0 = P_1 $$

$$ \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} $$

A questo punto ho tutti gli elementi per scrivere l'equazione vettoriale del piano.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = P_0 + t_1 \cdot v_1 + t_2 \cdot v_2 $$

Dove t₁ e t₂ sono i parametri dell'equazione vettoriale che determinano tutti i punti del piano.

Sostituisco i due vettori direttori.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = P_0 + t_1 \cdot \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix} + t_2 \cdot \begin{pmatrix} x_3 - x_1 \\ y_3 - y_1 \\ z_3 - z_1 \end{pmatrix} $$

Poi sostituisco il punto P₀

Ho così ottenuto l'equazione vettoriale del piano.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t_1 \cdot \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix} + t_2 \cdot \begin{pmatrix} x_3 - x_1 \\ y_3 - y_1 \\ z_3 - z_1 \end{pmatrix} $$

Per ottenere l'equazione parametrica del piano, mi basta trasformare la forma vettoriale in un sistema di tre equazioni.

$$ \begin{cases} x = x_0 + t_1 \cdot ( x_2 - x_1 ) + t_2 \cdot ( x_3 - x_1 ) \\ y = y_0 + t_1 \cdot ( y_2 - y_1 ) + t_2 \cdot ( y_3 - y_1 ) \\ z = z_0 + t_1 \cdot ( z_2 - z_1 ) + t_2 \cdot ( z_3 - z_1 ) \end{cases} $$

Per calcolare l'equazione cartesiana risolvo l'equazione parametrica.

Sposto il punto P₀ nel membro di sinistra.

$$ \begin{cases} x - x_0 = t_1 \cdot ( x_2 - x_1 ) + t_2 \cdot ( x_3 - x_1 ) \\ y - y_0 = t_1 \cdot ( y_2 - y_1 ) + t_2 \cdot ( y_3 - y_1 ) \\ z - z_0 = t_1 \cdot ( z_2 - z_1 ) + t_2 \cdot ( z_3 - z_1 ) \end{cases} $$

Poi costruisco la matrice con i coefficienti dei tre vettori in colonna

$$ \begin{pmatrix} x-x_0 & x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ y-y_0 & y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \\ z-z_0 & z_2 - z_1 & z_3 - z_1 \end{pmatrix} $$

Infine calcolo il determinante della matrice e lo metto uguale a zero.

$$ det \begin{pmatrix} x-x_0 & x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ y-y_0 & y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \\ z-z_0 & z_2 - z_1 & z_3 - z_1 \end{pmatrix} = 0 $$

$$ ( x-x_0 ) \cdot \begin{vmatrix} y_2-y_1 & y_3 - y_1 \\ z_2 - z_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} - (y-y_0) \cdot \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3 - x_1 \\ z_2 - z_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} +(z-z_0) \cdot \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3 - x_1 \\ y_2-y_1 & y_3 - y_1 \end{vmatrix} = 0$$

Ho così ottenuto l'equazione cartesiana del piano.

$$ ( x-x_0 ) \cdot a - (y-y_0) \cdot b +(z-z_0) \cdot c = 0$$

Esempio

Ho tre punti non allineati dello spazio

$$ P_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \:\:\: P_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \:\:\: P_3 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Con i punti ottengo dei vettori direttori

$$ v_1 = P_1P_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 0 - 3 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

$$ v_2 = P_1P_3 = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 1 - 3 \\ 2 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Verifico che siano linearmente indipendenti

$$ r_k \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} = 2 $$

Il rango (r_k=2) è uguale al numero dei vettori (2).

Quindi i vettori sono linearmente indipendenti e posso usarli come vettori del generatore del piano.

Scelgo il punto P₁ come punto P₀ qualsiasi del piano.

$$ P_0 = P_1 $$

$$ \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Ho tutti gli elementi per scrivere l'equazione vettoriale del piano.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = P_0 + t_1 \cdot v_1 + t_2 \cdot v_2 $$

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t_2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} $$

E da quest'ultima ottengo l'equazione parametrica del piano.

$$ \begin{cases} x = 1 + t_1 \cdot 1 + t_2 \cdot 3 \\ y = 3 + t_1 \cdot (-3) + t_2 \cdot (-2) \\ z = 5 + t_1 \cdot (-2) + t_2 \cdot (-3) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x = 1 + t_1 + 3 t_2 \\ y = 3 - 3 t_1 -2 t_2 \\ z = 5 - 2 t_1 -3 t_2 \end{cases} $$

Infine, ottengo l'equazione cartesiana del piano calcolando il determinante della matrice.

Sposto le coordinate del punto P₀ nel membro di sinistra

$$ \begin{cases} x - 1 = t_1 + 3 t_2 \\ y - 3 = - 3 t_1 -2 t_2 \\ z - 5 = - 2 t_1 -3 t_2 \end{cases} $$

Trasformo il sistema in una matrice

$$ \begin{pmatrix} x - 1 & 1 & 3 \\ y-3 & -3 & -2 \\ z-5 & -2 & -3 \end{pmatrix} $$

Calcolo il determinante della matrice

$$ det \begin{pmatrix} x - 1 & 1 & 3 \\ y-3 & -3 & -2 \\ z-5 & -2 & -3 \end{pmatrix} $$

$$ ( x-1 ) \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} - (y-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} +(z-5) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} $$

$$ ( x-1 ) \cdot (5) - (y-3) \cdot (3) +(z-5) \cdot (7) $$

$$ 5x - 5 -3y +9 +7z -35 $$

$$ 5x -3y +7z -31 $$

Metto a zero l'equazione e ottengo l'equazione cartesiana del piano

$$ 5x -3y +7z -31 = 0 $$

La rappresentazione grafica del piano nello spazio a tre dimensioni è la seguente:

E così via.