Energia relativistica
L’energia relativistica di un corpo di massa $ m $ che si muove a velocità $ v $ è $$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$ Dove $ c $ è la velocità della luce. Quando il corpo si muove a basse velocità $ v \ll c $, la formula si approssima a $$ E \approx m c^2 + \tfrac{1}{2} m v^2 $$ In alternativa, l'energia relativistica può essere rappresentata a qualsiasi velocità dalla relazione con la quantità di moto $ p $ $$ E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2 $$
Nella teoria della relatività ristretta l’energia e la massa non sono grandezze distinte, ma due aspetti di una stessa realtà fisica.
Ogni corpo dotato di massa a riposo $ m $ possiede un’energia intrinseca, detta energia a riposo, data dalla celebre relazione di Einstein:
$$ E_0 = m c^2 $$
Quando il corpo si muove, alla sua energia a riposo si aggiunge l’energia dovuta al moto, formando l’energia totale relativistica:
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
Nel limite delle basse velocità $ ( v \ll c) $, questa formula si riduce alla somma dell’energia a riposo e dell’energia cinetica classica $ \tfrac{1}{2} m v^2 $.
$$ E \approx m c^2 + \tfrac{1}{2} m v^2 $$
Quando invece la velocità si avvicina a quella della luce ( $ v \to c $ ), il fattore di Lorentz $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $ cresce senza limiti, e l’energia necessaria per aumentare ulteriormente la velocità tende a infinito.
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma mc^2 = \infty $$
Per questo nessun corpo con massa $ m>0 $ può raggiungere la velocità della luce $ c $, in quanto l'energia necessaria sarebbe infinita.
Tuttavia, sappiamo che esistono particelle come i fotoni che si muovono alla velocità della luce.
Perché i fotoni raggiungono la velocità della luce?
Le particelle prive di massa ( $ m=0 $ ), come i fotoni, non obbediscono alla formula dell'energia $ E = \gamma m c^2 $ ma alla relazione generale tra l'energia e la quantità di moto:
$$ E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2 $$
In questo caso, per $ m = 0 $ , la formula diventa semplicemente $ E = p c $ cioè l'energia è proporzionale alla quantità di moto.
$$ E = pc $$
Questo spiega perché i fotoni possiedono energia $ E $ e quantità di moto (impulso) $ p $ finiti pur avendo massa a riposo nulla $ m=0 $ e si muovono sempre alla velocità della luce $ c $.
Nota. Secondo la legge di Planck l'energia di un fotone è finita ed è pari a $ E = h \nu $ dove $ h $ è la costante di Planck mentre $ \nu $ è la frequenza.
La spiegazione e dimostrazione
Nella meccanica classica l’energia totale di un corpo è la somma dell'energia potenziale $ U $ e dell'energia cinetica $ K = \tfrac{1}{2}mv^2 $ ed eventuali altre forme (elastiche, gravitazionali, ecc.)
Nella relatività ristretta, però, questa distinzione non è più sufficiente, perché quando un corpo si muove a velocità comparabili con quella della luce, la relazione tra massa, energia e velocità cambia completamente.
Einstein mostrò che a ogni corpo di massa $ m $ è associata un’energia totale:
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} $$
Dove:
- $ c $ è la velocità della luce
- $ v $ è la velocità del corpo
- $ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $ è il fattore di Lorentz
In base a questa formula un corpo possiede energia $ E_0 $ anche a riposo, ossia quando la velocità è nulla $ v = 0 $.
$$ E_0 = m c^2 $$
È il celebre risultato di Einstein: la massa è una forma di energia.
In altre parole, la massa può essere convertita in energia e viceversa.
A questo punto analizzo due scenari, quello classico con la velocità molto bassa e quello relativistico con la velocità prossima alla luce.
Caso di velocità molto basse
Se la velocità $ v $ è molto piccola rispetto alla velocità della luce $ c $, ossia $ v \ll c $ , il fattore di Lorentz tende a $ \gamma \approx 1 $.
$$ \lim_{v \to 0} \gamma = \lim_{v \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 1 $$
Quindi l'energia totale $ E= \gamma mc^2 $ si riduce a quella classica $ E = mc^2 $ ossia all'energia a riposo $ E_0 $.
$$ E \approx E_0 = mc^2 $$
Per analizzarlo meglio sviluppo il fattore di Lorentz in una serie di Taylor.
Come primo passo riscrivo il fattore di Lorentz come una potenza.
$$ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = (1- \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} $$
Poi eseguo lo sviluppo in serie di Taylor di un binomio generalizzato (potenza) che vale per qualunque esponente $ \alpha $, purché $ |x| < 1 $.
$$ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3 + \cdots $$
In questo caso $ \alpha = -\tfrac{1}{2} $ e $ x = -\dfrac{v^2}{c^2} $
$$ (1- \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} = 1 + ( - \frac{1}{2} ) \cdot ( - \frac{v^2}{c^2} ) + \frac{1}{2!} \cdot ( - \frac{1}{2} ) \cdot ( - \frac{1}{2} - 1 ) \cdot ( - \frac{v^2}{c^2} )^2 + \cdots $$
$$ (1- \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4} + \cdots $$
Espandere in serie di Taylor significa “approssimare” una funzione intorno a un punto che, in questo caso, è $ v=0 $.
Questo significa che i termini della serie diventano sempre più piccoli.
$$ (\frac{v^2}{c^2} \ll 1), (\frac{v^4}{c^4} \ll \frac{v^2}{c^2}), ... $$
Perciò basta mantenere i primi due o tre termini per ottenere una buona approssimazione classica.
$$ \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} $$
I termini successivi sono piccolissimi e si possono trascurare quando $ v \ll c $.
Pertanto, la formula dell'energia relativistica diventa:
$$ E = \gamma mc^2 = (1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}) \cdot mc^2 $$
$$ E = mc^2 + \frac{1}{2} mv^2 $$
Il primo termine $ m c^2 $ è costante, il secondo termine $ \tfrac{1}{2} m v^2 $ è l’energia cinetica classica,
Quindi la meccanica classica è solo il caso limite della relatività per basse velocità.
Caso di velocità molto alte
Quando la velocità $ v $ del corpo si avvicina alla velocità della luce $ c $, ossia $ v \to c $, l’energia cinetica cioè cresce più rapidamente con la velocità.
Per un corpo a riposo $ m $ l'energia totale relativistica è la seguente:
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
L'energia totale relativistica include sia l'energia a riposo $ E_0 $ che l'energia cinetica $ K $ dovuta al moto.
$$ E = E_0 + K $$
Quindi, per definizione l'energia cinetica è la differenza tra l'energia totale $ E $ e l'energia a riposo $ E_0 $.
$$ K = E - E_0 $$
Dove l'energia totale è $ E = \gamma mc^2 $
$$ K = \gamma mc^2 - E_0 $$
Quando la particella è ferma $ (v = 0) $, il fattore di Lorentz vale $ \gamma = 1 $, quindi l'energia a riposo è
$$ E_0 = \gamma mc^2 = 1 \cdot mc^2 $$
$$ E_0 = m c^2 $$
Sostituisco $ E_0 = mc^2 $ nella formula dell'energia cinetica $ K = E- mc^2 $
$$ K = \gamma mc^2 - mc^2 $$
$$ K = mc^2 ( \gamma -1 ) $$
Ho trovato la formula dell'energia cinetica relativistica del corpo come differenza tra l'energia totale e l'energia a riposo $ K = E- E_0 $. Quindi, in questo caso l'energia cinetica non è più $ \tfrac{1}{2}mv^2 $.
Quando $ v \to c $ il fattore di Lorentz tende a infinito ( $ \gamma \to \infty $ )
$$ \lim_{v \to c} \gamma = \lim_{v \to c} \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \infty $$
Quindi anche l’energia necessaria per aumentare ulteriormente la velocità tende all’infinito.
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma mc^2 = mc^2 \cdot \lim_{v \to c} \gamma = \infty $$
Da questo deduco che nessun corpo con massa può raggiungere la velocità della luce, perché l'energia necessaria sarebbe infinita $ E \to \infty $.
$$ E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2} } $$
Dal punto di vista matematico questo accade perché il numeratore è positivo con $ m>0 $ mentre il denominatore tende a $ 0^+ $
Ma cosa accade se una particella ha massa zero?
Se una particella, come un fotone, ha massa nulla $ m= 0 $ anche il numeratore diventa zero $ mc^2 = 0 $.
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma mc^2 = mc^2 \cdot \lim_{v \to c} \gamma = \frac{ 0 }{ 0} $$
Questo limite è una forma indeterminata, quindi non è detto che tende a infinito.
In questo caso per capire l'energia della particella non devo usare la formula $ E = \gamma mc^2 $ bensì la relazione tra l'energia e la quantità di moto.
$$ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 $$
Dove $ p = \gamma mv $ è la quantità di moto.
Quest'ultima formula vale per tutte le particelle, anche per quelle senza massa come i fotoni, in cui $ m = 0 $.
Quindi, unifica in un’unica espressione tutti i casi possibili:
- per $ m>0 $ descrive le particelle massive,
- per $ m=0 $ descrive le particelle prive di massa.
È quindi la forma più generale dell’energia relativistica.
Quando la massa è nulla $ m=0 $ la formula dell'energia diventa
$$ E^2 = (pc)^2 $$
Calcolo la radice quadrata in entrambi i membri dell'equazione
$$ \sqrt{E^2 } = \sqrt{ (pc)^2 ) $$
$$ E = pc $$
Quindi, se un corpo è privo di massa, la sua energia è la quantità di moto per la velocità della luce.
Questa è la formula generale dell'energia $ E = pc $ per le particelle prive di massa, come i fotoni.
Ora bisogna capire cosa accade alla quantità di moto $ p $ quando $ v \to c $.
$$ \lim_{v \to c} p = \lim_{v \to c} \gamma mv = \lim_{v \to c} \frac{mv}{ \sqrt{1 - v^2/c^2} } = \frac{0}{0} $$
Anche in questo caso se $ m = 0 $ il limite è una forma indeterminata 0/0.
Tuttavia, se la massa tende a zero $ m \to 0 $ con la stessa velocità con cui il denominatore tende a zero $ \sqrt{1 - v^2/c^2} \to $ , il limite è finito.
$$ m \propto \sqrt{1 - v^2/c^2} \Rightarrow p = \text{finito}, \quad E = p c = \text{finito} $$
Se la quantità di moto $ p $ è un numero finito, allora anche l'energia $ E=pc $ è un numero finito, quando $ v to c $.
Questo è esattamente il comportamento di un fotone, ha energia $ E $ e quantità di moto $ p $ finita, ma massa a riposo zero $ m=0 $.
I fotoni vivono esattamente in questo limite, non esistono a $ v < c $, ma solo nel punto limite $ v = c $, dove la formula $ E=\gamma mc^2 $ smette di avere senso, e viene sostituita da quella con $ E=pc $.
Nota. Nella meccanica classica si conserva l’energia meccanica (somma di energia cinetica e potenziale). Nella relatività, invece, la massa stessa rappresenta una forma di energia, $ E_0 = m c^2 $. Di conseguenza, il principio di conservazione dell’energia si estende, non si conserva più solo l’energia meccanica, ma l’energia totale, che comprende anche l’energia a riposo. Quando la massa di un sistema diminuisce, l’energia emessa aumenta nella stessa misura, e viceversa: $$ \Delta E = -,\Delta m, c^2 $$ Questo è il significato profondo della relazione di Einstein: la massa e l’energia sono intercambiabili, ma la quantità totale rimane invariata.
E così via.
