Intervallo spazio-temporale

L’intervallo spazio-temporale è la distanza spazio-temporale tra due eventi. $$ I = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$ E' detta anche intervallo di Minkowski.

Non è una “distanza” nel senso euclideo, ma una grandezza che non cambia mai da un sistema inerziale di riferimento a un altro, cioè è uguale per tutti gli osservatori inerziali.

Per questa ragione è anche detto "invariante spazio-temporale" e permette di misurare la distanza tra due eventi A e B nello spazio-tempo.

Il segno di (I) mi dice che tipo di separazione c’è tra due eventi:

• Se (I > 0) la separazione tra i due eventi è dominata dal tempo (timelike)
  Gli eventi possono essere collegati da un oggetto che viaggia a velocità minore di (c). Quindi, c'è una possibile causalità: l’evento A può influenzare l’evento B.
• Se (I = 0) la separazione tra i due eventi è dominata dalla luce (lightlike)
  Gli eventi sono collegati solo da qualcosa che viaggia alla velocità della luce.  È il caso dei fotoni.
• Se (I < 0) la separazione tra i due eventi è dominata dallo spazio (spacelike)
  Gli eventi non possono essere collegati nemmeno alla velocità della luce. In questo caso, non c'è nessuna causalità possibile tra i due eventi perché nessun segnale può viaggiare abbastanza veloce per collegarli.

Quindi, in parole semplici, l'intervallo spazio-temporale mi dice se se due eventi possono influenzarsi oppure no.

È l’analogo relativistico della distanza euclidea, ma con la differenza cruciale che tempo e spazio non entrano con lo stesso segno.

Un esempio pratico

Supponiamo un lampo di luce emesso nell’origine (O).

Per semplicità, il lampo si muove lungo l'asse x, quindi le altre coordinate y e z restano invariate.

Considero due eventi:

• L'evento A (origine): \[ \begin{cases} t_A = 0 \\ x_A = 0 \\  y_A=0 \\ z_A=0 \end{cases} \] Costruisco il quattro-vettore posizione dell’evento A $$ x_A^\mu = (c \cdot t_A, x_A, y_A, z_A) = (c \cdot 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) $$
• L'evento B (arrivo del lampo): \[  \begin{cases} t_B = 1 \\ \text{s} \\ x_B = c \cdot t = 3 \times 10^8 \; \text{m} \\ y_B = 0 \\ z_B = 0 \end{cases} \] Costruisco il quattro-vettore posizione dell’evento B $$ x_B^\mu = (ct_B, x_B, y_B, z_B) = (3 \times 10^8, \; 3 \times 10^8, \; 0, \; 0) $$

Calcolo l’intervallo spazio-temporale

$$ I = (ct_B - ct_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 $$

$$ I = (3 \times 10^8 - 0)^2 - (3 \times 10^8 - 0)^2 - (0-0)^2 - (0-0)^2 $$

$$ I = (3 \times 10^8)^2 - (3 \times 10^8)^2 - 0 - 0 $$

$$ I = 0 $$

Poiché $ I=0 $ l’intervallo è lightlike, significa che l’evento B può essere raggiunto da A solo da un segnale che viaggia a velocità esattamente pari a c.

In questo caso gli eventi sono separati da una “distanza spazio-temporale nulla". Si trovano sul cono di luce dell’origine. Solo la luce (o qualsiasi particella senza massa che viaggia a c) può collegarli.

Esempio 2

Supponiamo un segnale che parte dall’origine (O) e raggiunge un punto nello spazio-tempo con \( t = 2 \,\text{s} \) e \( x = 3 \times 10^8 \,\text{m} \).

Gli eventi da considerare sono i seguenti:

• Evento A (origine): \[ \begin{cases} t_A = 0 \\ x_A = 0 \\  y_A=0 \\ z_A=0 \end{cases} \] Il quattro-vettore posizione dell'evento A è $$ x_A^\mu = (c \cdot t_A, x_A, y_A, z_A) = (c \cdot 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) $$
• Evento B (arrivo del segnale): \[ \begin{cases} t_B = 2 \,\text{s} \\ x_B = 3 \times 10^8 \,\text{m} \\ y_B=0 \\ z_B=0  \end{cases} \] Il quattro-vettore posizione dell'evento B è $$ x_B^\mu = (ct_B, x_B, y_B, z_B) = (6 \times 10^8, \; 3 \times 10^8, \; 0, \; 0) $$

Calcolo l’intervallo spazio-temporale tra i due eventi.

$$ I = (ct_B - ct_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 $$

$$ I = (6 \times 10^8 - 0 )^2 - (3 \times 10^8 - 0)^2 - (0-0)^2 - (0-0)^2 $$

$$ I = 36 \times 10^{16} - 9 \times 10^{16} $$

$$ I = 27 \times 10^{16} > 0 $$

In questo caso l’intervallo è $ I>0 $, ossia è timelike, perché A e B possono essere collegati da un corpo materiale che viaggia a velocità minore di \( c \). In pratica, un osservatore o una particella massiva può muoversi da A a B.

Si trovano all’interno del cono di luce ma anche un segnale più lento della luce può collegarli.

E così via.