Quattro-vettore posizione nella relatività
In relatività ristretta, invece di trattare separatamente lo spazio e il tempo, si raggruppano in un unico oggetto matematico: il quattro-vettore posizione-tempo $$ x^\mu = (ct, \; x, \; y, \; z), \quad \mu=0,1,2,3 $$ Dove $ ct $ è la componente temporale, con dentro la costante \( c \) (velocità della luce).
Il fattore $ c $ (velocità della luce) misurato in $ m/s $ (metri al secondo) è introdotto per uniformare le unità di misura.
Inizialmente, il tempo $ t $ è espresso in secondi, mentre le altre componenti del vettore $ x, y, z $ sono lunghezze misurate in metri.
$$ ( t, x,y,z ) $$
Tuttavia, un vettore con unità di misura diverse non ha molto senso, perché non posso sommare metri e secondi come se fossero la stessa cosa.
Il prodotto $ ct $ converte anche il tempo in una lunghezza (metri).
$$ ( ct, x,y,z ) $$
In questo modo tutte le componenti del quattro-vettore hanno la stessa dimensione fisica.
Nota. A volte il quattro-vettore posizione-tempo è indicato anche in questa forma più compatta con \( x^0 = ct , \; x^1 = x, \; x^2 = y, \; x^3 = z \). $$ x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3), \quad mu=0,1,2,3 $$ Dove $ x^0,x^1,x^2,x^3 $ non sono le potenze di $ x $ ma le quattro componenti del quattro-vettore: $ x^0 $ è la prima componente, $ x^1 $ la seconda, ecc.
Trasformazione di Lorentz
La trasformazione di Lorentz serve per passare dalle coordinate di un evento nel sistema \( S \) a quelle nel sistema \( S' \) in moto con velocità \( v \) lungo l’asse \( x \).
$$
\begin{cases}
t' &= \gamma\left(t - \tfrac{v}{c^2}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Moltiplico la prima equazione per $ c $ per uniformare le unità di misura
$$
\begin{cases}
ct' &= c \gamma\left(t - \tfrac{v}{c^2}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
ct' &= \gamma\left(ct - \tfrac{v}{c}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Riscrivo la seconda equazione $ \gamma(x - vt) $ in questa forma equivalente $ \gamma(x - vt \cdot \frac{c}{c} ) $ .
$$
\begin{cases}
ct' &= \gamma\left(ct - \tfrac{v}{c}x\right) \\
x' &= \gamma(x - \frac{v}{c} ct) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Sostituisco $ x^0 = ct $ e $ x^{0'} = ct' $ , $ x^1=x , x^2 = y , x^3 = z $
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\left(x^0 - \tfrac{v}{c}x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma(x^1 - \frac{v}{c} x^0) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
Infine $ \beta = \frac{v}{c} $
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\left(x^0 - \beta x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma(x^1 - \beta x^0) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
Dove
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} $$
In forma compatta con la convenzione di Einstein si scrive:
$$ x^{\mu'} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^\nu $$
Dove $ \Lambda^{\mu}{}_{\nu} $ è la matrice di Lorentz.
$$
\Lambda =
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\
-\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Si tratta di una matrice 4×4 che moltiplica il vettore colonna \( (x^0, x^1, x^2, x^3)^T \) e restituisce il nuovo vettore trasformato
$$ x^{\mu'} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu},x^\nu $$
$$ \begin{pmatrix}
x^{0'} \\
x^{1'} \\
x^{2'} \\
x^{3'}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\
-\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^0 \\
x^1 \\
x^2 \\
x^3
\end{pmatrix}
$$
Svolgendo il prodotto riga per colonna ottengo il sistema di equazioni
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\left(x^0 - \beta x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma(x^1 - \beta x^0) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
E così via.
