Quattro-vettore

Un quattro-vettore è un oggetto matematico con quattro componenti che si trasforma secondo le regole delle trasformazioni di Lorentz. $$ a^\mu = (a^0, a^1, a^2, a^3) $$

È lo strumento matematico che permette di scrivere le leggi della fisica in forma covariante e uguale per tutti gli osservatori inerziali.

Si trasforma con la stessa legge delle coordinate spazio-temporali sotto una trasformazione di Lorentz.

Si distinguono due versioni di quattro-vettori:

• Controvarianti
  I controvarianti $ a^\mu $ (indici in alto) sono associati agli spostamenti o vettori geometrici. In termini più geometrici appartengono allo spazio dei vettori. Sono le componenti usuali del vettore, ad esempio le coordinate spazio-temporali: $$ x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z) $$ Vengono chiamate controvarianti perché cambiano in senso opposto alle coordinate durante una trasformazione. Ad esempio, se allargo l'asse (x) del doppio (cambio di scala), le componenti controvarianti diventano la metà e compensano la trasformazione.
• Covarianti
  I covarianti $ a_\mu $ (indici in basso) si associano ai gradiente o forme lineari. Appartengono allo spazio duale, cioè allo spazio delle funzioni lineari sui vettori. Le componenti covarianti non sono “altre coordinate”, ma la stessa informazione espressa in forma duale, con i segni sistemati dalla metrica. Per la metrica di Minkowski: $$ x_0 = +x^0, \quad x_1 = -x^1, \quad x_2 = -x^2, \quad x_3 = -x^3 $$ ossia $$ x_\mu = (x^0, -x^1, -x^2, -x^3) = (ct, -x,-y, -z) $$

Il prodotto scalare tra un covariante e un controvariante è un invariante di Lorentz, cioè ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali.

$$ x^\mu x_\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) \cdot (x^0, -x^1, -x^2, -x^3) $$

$$ x^\mu x_\mu = x^0 \cdot x_0 + x^1 \cdot x_1 + x^2 \cdot x_2 + x^3 \cdot x_3 $$

$$ x^\mu x_\mu = (x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2 $$

Quest'ultima formula non è una “norma” nel senso euclideo, ma l’intervallo spazio-temporale, cioè la misura relativistica della separazione tra eventi, la stessa per tutti gli osservatori.

Questa quantità si chiama intervallo spazio-temporale al quadrato:

$$ s^2 = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$

Il segno di $ s^2 $ dice che tipo di separazione c’è tra due eventi:

• Se $ s^2 > 0 $ la separazione è "timelike": gli eventi possono essere collegati da un corpo materiale che viaggia più lento della luce. Quindi, un evento influenza l'altro. E' solo questione di tempo.
• Se $ s^2 = 0 $ la separazione è "lightlike": gli eventi sono collegati da un raggio di luce. Anche in questo caso un evento influenza l'altro ma l'informazione viaggia alla velocità della luce.
• Se $ s^2 < 0 $ la separazione è "spacelike": nessun legame causale è possibile (sarebbe necessaria una velocità > c).

Quindi, la formula $ x^\mu x_\mu = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 $ esprime l’intervallo spazio-temporale ossia la “distanza” relativistica tra eventi, che è la stessa per tutti gli osservatori.

Nota. È l’analogo relativistico della distanza in geometria euclidea: invariante, cioè uguale per tutti gli osservatori inerziali.

Un esempio pratico

Un segnale parte dall’origine nel momento $t=0$ e, dopo 2 secondi, si trova a una posizione lungo l’asse $x$ pari a $3 \times 10^8 ,\text{m}$ cioè un decimo di anno luce circa, percorribile dalla luce in 1 secondo.

Per semplicità considero costanti le altre componenti dello spazio $y=0 $ e $ z=0$.

Le coordinate controvarianti dell’evento sono:

$$ x^\mu = (ct, x, y, z) = (6 \times 10^8,  3 \times 10^8,  0,  0). $$

In questo caso:

• $x^0 = ct = 6 \times 10^8 ,\text{m}$
• $x^1 = x = 3 \times 10^8 ,\text{m}$
• $x^2 = 0 $
• $ x^3 = 0$

Abbasso l’indice con la metrica $g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$:

• $x_0 = +x^0 = 6 \times 10^8$
• $x_1 = -x^1 = -3 \times 10^8$
• $x_2 = -x^2 = 0$
• $x_3 = -x^3 = 0$

Quindi, il quattro-vettore covariante è:

$$ x_\mu = (6 \times 10^8,  -3 \times 10^8,  0,  0). $$

Cosa cambia? La componente temporale rimane identica. Le componenti spaziali, invece, cambiano segno. Questo è l’effetto della metrica di Minkowski.

A questo punto, calcolo il prodotto scalare tra il controvariante e il covariante, ossia l'intervallo spazio-temporale al quadrato:

$$ s^2 = x^\mu x_\mu $$

$$ s^2 = (6 \times 10^8)^2 - (3 \times 10^8)^2 $$

$$ s^2 = 2.7 \times 10^{17} $$

Il risultato è positivo, quindi la separazione è timelike.

Questo significa che tra origine ed evento c’è una distanza spazio-temporale dominata dal tempo, cioè un osservatore materiale potrebbe effettivamente percorrere questo tratto viaggiando a velocità minore della luce.

Tipi di quattro-vettori

Esistono diversi tipi di quattro-vettori

• Quattro-posizione: $$ x^\mu = (ct, x, y, z) $$
• Quattro-spostamento: $$ \Delta x^\mu = (c\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z) $$
• Quattro-velocità: $$ u^\mu = \dfrac{dx^\mu}{d\tau} $$
• Quattro-impulso: $$ p^\mu = m u^\mu = \left(\tfrac{E}{c}, \vec{p}\right) $$
• Quattro-forza: $$ F^\mu = \dfrac{dp^\mu}{d\tau} $$
• Quattro-corrente: $$ J^\mu = (c\rho, \vec{J}) $$
• Quattro-potenziale: $$ A^\mu = (\phi, \vec{A}) $$

E così via.