Velocità ordinaria e velocità propria
In fisica relativistica, esistono due definizioni di velocità:
- la velocità ordinaria (o coordinata), indicata con $v$, è la velocità calcolata rispetto al tempo $ t $ di laboratorio. $$ v = \frac{dx}{dt} $$ E' quella che si studia nei libri di fisica classica. Dove $dx$ è lo spostamento spaziale misurato da un osservatore esterno, mentre $dt$ è il tempo misurato nel sistema dell’osservatore (cioè nel laboratorio). Nella relatività ristretta, rappresenta la velocità dell’oggetto vista dal sistema esterno rispetto al quale esso è in moto.
- la velocità propria, indicata con $\eta$, è calcolata rispetto al tempo proprio $ \tau $ dell’oggetto in movimento. $$ \eta = \frac{dx}{d\tau} $$ Questa quantità indica quanto spazio viene percorso rispetto al tempo che scorre per l’oggetto stesso.
Le due quantità coincidono solo nel limite della meccanica classica. In relatività ristretta, invece, divergono man mano che la velocità si avvicina a quella della luce.
La distinzione tra velocità ordinaria $v$ e velocità propria $\eta$ diventa necessaria quando si considera il tempo proprio nel calcolo del moto.
Qual è la relazione tra le due velocità?
Tra $\eta$ e $v$ esiste una relazione semplice, ma cruciale:
$$ \eta = \gamma v $$
Dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
ovvero
$$ v=\frac{\eta}{\sqrt{1+\left(\frac{\eta}{c}\right)^2}} $$
Poiché $\gamma \geq 1$, ne segue che la velocità propria è sempre maggiore della velocità ordinaria.
$$ \eta \geq v $$
Le due velocità sono uguali solo quando la velocità ordinaria è nulla $v = 0$, ossia quando l'oggetto è fermo.
Nota. Secondo la relatività ristretta nessun oggetto può superare la velocità della luce. Questo limite relativistico vale solo per la velocità ordinaria $ v < c $. Pertanto, anche per valori molto grandi della velocità propria $ \eta $, la velocità ordinaria $ v $ non può superare la velocità della luce $ c $. $$ v=\frac{\eta}{\sqrt{1+(\eta/c)^2}}<c $$ In altre parole, la velocità propria non viola la relatività. In realtà, né la velocità ordinaria $ v $ né la velocità propria $ \eta $ rappresentano pienamente il moto relativistico: quest’ultimo è descritto dal quattro-vettore velocità $ U^\mu = (\gamma c,, \gamma \vec{v}) $, che indica la direzione del moto nello spaziotempo. La sua norma, pari a $ -c^2 $, è la stessa per tutti gli osservatori e riflette l’invarianza del tempo proprio.
Esempio pratico
Supponiamo che un oggetto, ad esempio un’astronave, si muova lungo una traiettoria rettilinea con velocità costante $v = 0{,}6c$, dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto.
Il fattore di Lorentz $\gamma$ si calcola tramite la formula seguente:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
Sostituisco $v = 0{,}6c$:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}6)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25 $$
Il valore $\gamma = 1{,}25$ indica che il tempo scorre più lentamente nell'astronave.
Ora calcolo la velocità propria $\eta$ usando la relazione:
$$ \eta = \gamma v $$
Sostituisco i valori:
$$ \eta = 1{,}25 \cdot 0{,}6c = 0{,}75c $$
La velocità propria dell'oggetto è $ 0{,}75c $ ed è maggiore rispetto alla velocità ordinaria $ 0{,}6c $.
Questo significa che l’oggetto percorre $0{,}75c$ ogni secondo del proprio tempo $\tau$. Nel laboratorio, invece, si muove a $0{,}6c$ rispetto al tempo $t$ dell’osservatore.
Quindi, nel proprio tempo l’oggetto percorre più spazio per unità di tempo proprio di quanto appare a un osservatore esterno.
Nota. Questa differenza è dovuta al fatto che il tempo proprio $\tau$ scorre più lentamente di $t$. Per questa ragione, a parità di spostamento $dx$, la velocità propria $\eta$ risulta maggiore rispetto alla velocità ordinaria. Ovviamente, questo non significa che l’oggetto superi fisicamente la velocità della luce, perché il limite relativistico della velocità della luce vale solo per la velocità ordinaria $ v < c $.
Il quattro-vettore velocità
La velocità propria fa parte del formalismo dei quattro-vettori, gli oggetti matematici che unificano tempo e spazio in un'unica struttura coerente. Non è solo una curiosità teorica.
In particolar modo, la velocità propria è una componente spaziale del quattro-vettore velocità, indicato con:
$$ U^\mu = \left( \gamma c,\ \gamma \vec{v} \right) $$
Dove:
- $\mu = 0, 1, 2, 3$ è l’indice quadridimensionale (tempo + 3 componenti spaziali);
- $\gamma \vec{v}$ rappresenta il prodotto del fattore di Lorentz per la velocità ordinaria;
- $\gamma c$ è la componente temporale.
Invarianza della norma
Una proprietà fondamentale della quattro-velocità è che la sua norma (lunghezza nel senso relativistico) è invariante per tutti gli osservatori:
$$ U^\mu U_\mu = -c^2 $$
In altre parole, questa quantità rimane uguale in ogni sistema inerziale ed è indipendente dalla velocità dell’oggetto.
E così via.
