La differenza tra tempo proprio e tempo di laboratorio

Nella relatività ristretta, il tempo proprio è il tempo misurato da un orologio che si muove insieme all’oggetto osservato. Il tempo di laboratorio, invece, è il tempo misurato da un orologio che si trova nel sistema inerziale dell’osservatore.

La differenza tra i due nasce dal principio di relatività di Einstein: il tempo non è assoluto, ma dipende dal sistema di riferimento e dal suo moto.

In altre parole, ogni osservatore ha il suo “tempo personale” che è valido solo nel suo sistema di riferimento.

Ad esempio, un orologio posto su un corpo in moto uniforme (es. un’astronave) che viaggia a velocità elevate, prossime a quella della luce, segna un tempo più lento rispetto a uno sulla Terra.

La relazione tra i due tempi è la seguente:

$$ t = \gamma \cdot \tau $$

Il termine gamma è il fattore di Lorentz.

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Quindi, la formula si può scrivere in modo esteso in questa forma:

$$ t = \frac{\tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Dove le lettere hanno questo significato

• $t$ è il tempo di laboratorio, il tempo misurato da un osservatore fermo;
• $\tau$ è il tempo proprio, il tempo misurato nel sistema che si muove con l’oggetto;
• $v$ è la velocità dell’oggetto in moto rispetto all’osservatore;
• $c$ è la velocità della luce nel vuoto.

La formula mostra che quando $v = 0$, cioè l’oggetto è fermo, $t = \tau$: i due orologi segnano lo stesso tempo.

Quando $v$ aumenta, $t > \tau$: il tempo nel laboratorio scorre più rapidamente rispetto a quello proprio.

Infine, quando $v \rightarrow c$, $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \rightarrow 0$, quindi $t \rightarrow \infty$: il tempo proprio quasi si ferma rispetto a quello di laboratorio.

Un esempio pratico

Supponiamo che l’astronave viaggi a $v = 0{,}8c$.

Un orologio a bordo misura un intervallo di tempo proprio di:

$$ \tau = 1{,}0 \text{ s} $$

Calcoliamo il tempo di laboratorio sulla Terra:

$$ t = \gamma \cdot \tau $$

$$ t = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \cdot 1{,}0 \text{ s}  $$

$$ t = \frac{1{,}0}{\sqrt{1 - (0{,}8)^2}} = \frac{1{,}0}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1{,}0}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1{,}0}{0{,}6} = 1{,}67 \text{ s} $$

Questo vuol dire che per ogni secondo sull’orologio dell’astronave (luogo C), passano 1,67 secondi sulla Terra (luogo A).

 

Nota. Questa dilatazione temporale non è solo teorica. È stata verificata sperimentalmente. Ad esempio, confrontando orologi atomici su aerei e satelliti con quelli a terra. Un altro esempio pratico è il decadimento dei muoni, sono delle particelle instabili che, viaggiando vicino alla velocità della luce, sopravvivono più a lungo rispetto al loro tempo proprio previsto.

E così via.