Quattro-vettore velocità

In altre parole, il quattro vettore velocità è la velocità calcolata in base al tempo proprio $ \tau $ di un oggetto

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} $$

Il prodotto scalare tra il quattro-vettore velocità controvariante e covariante è costante in ogni sistema inerziale, quindi è un invariante relativistico.

$$ U^\mu U_\mu = c^2 $$

In altre parole, quest'ultimo valore è lo stesso per ogni osservatore in qualsiasi sistema di riferimento inerziale.

Spiegazione e dimostrazione

Il quattro-vettore velocità è il rapporto tra la variazione del quattro-vettore posizione $x^\mu = ( ct, x,y,z ) $ e il tempo proprio $\tau$ dell’oggetto:

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} $$

Questo significa che il quattro-vettore velocità descrive come cambiano le coordinate spazio-temporali di una particella rispetto al suo tempo proprio, cioè il tempo misurato nel sistema in cui la particella è a riposo.

Esplicito le quattro componenti del vettore

$$ U^\mu = \left( \frac{d(ct)}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau} \right) $$

La prima componente è temporale ($ct$), le altre tre sono spaziali ($x, y, z$).

La derivata rispetto a $\tau$ mi dice quanto cambia ciascuna coordinata per unità di tempo proprio.

Ora, siccome il tempo proprio e il tempo coordinato sono legati dal fattore di Lorentz $ \gamma $

$$ d\tau = \frac{dt}{\gamma}, \qquad \text{con } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$

Riscrivo la derivata in questa forma equivalente

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \frac{dx^\mu}{dt}  \cdot \frac{dt}{d\tau}   $$

Sapendo che $ d\tau = \frac{dt}{\gamma} $, ricavo e sostituisco $ \gamma = \frac{dt}{ d \tau } $

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{dt}  \cdot \gamma   $$

In questo modo, passo dal riferimento del tempo proprio che dipende dall’oggetto a quello del tempo coordinato $t$ che dipende dall’osservatore esterno.

Sviluppando le derivate ottengo:

$$ U^\mu = \gamma \frac{d}{dt}(ct, x, y, z) $$

$$ U^\mu = \gamma \cdot \left( \frac{d \ ct}{dt}, \frac{d \ x}{dt}, \frac{d \ y}{dt}, \frac{d \ z}{dt} \right) $$

In pratica sto moltiplicando per $\gamma$ le velocità “ordinarie” nel riferimento esterno.

$$ \frac{d \ ct}{dt} = c $$

$$ \frac{d \ x}{dt} = v_x $$

$$ \frac{d \ y}{dt} = v_y $$

$$ \frac{d \ z}{dt} = v_z $$

Quindi ottengo le componenti esplicite del quattro-vettore velocità controvariante.

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) $$

In forma più compatta posso scrivere anche:

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma \vec{v}) $$

La parte temporale del vettore è $\gamma c$, quella spaziale è $\gamma$ volte la velocità ordinaria $\vec{v}$.

Per calcolare anche il quattro-vettore velocità covariante devo abbassare l’indice usando la metrica di Minkowski, quella in notazione $(+ - - -)$:

$$ U_\mu = g_{\mu\nu} U^\nu $$

Dove $ g_{\mu\nu} $ è la matrice di trasformazione che mi permette di invertire i segni delle componenti spaziali.

$$ g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Calcolo il prodotto matriciale e ottengo le componenti esplicite del quattro-vettore velocità covariante.

$$ U_\mu = (U_0, U_1, U_2, U_3) = (\gamma c, -\gamma v_x, -\gamma v_y, -\gamma v_z) $$

Lo stesso vettore posso scriverlo in modo più compatto nella forma vettoriale:

$$ U_\mu = (\gamma c, -\gamma \vec{v}) $$

Come previsto, la componente temporale resta positiva, mentre le componenti spaziali diventano negative. Questo riflette la geometria pseudo-euclidea dello spazio-tempo relativistico.

A questo punto calcolo il prodotto scalare tra la versione controvariante e quella covariante del quattro-vettore velocità:

$$ U^\mu U_\mu = U^0 U_0 + U^1 U_1 + U^2 U_2 + U^3 U_3 $$

Sostituisco le componenti esplicite di $U^\mu$ e $U_\mu$:

$$ U^\mu U_\mu = (\gamma c)(\gamma c) + (\gamma v_x)(-\gamma v_x) + (\gamma v_y)(-\gamma v_y) + (\gamma v_z)(-\gamma v_z)  $$

$$ U^\mu U_\mu = \gamma^2 (c^2 - v_x^2 - v_y^2 - v_z^2) $$

$$ U^\mu U_\mu = \gamma^2 (c^2 - v^2) $$

Dove $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$.

Poiché $\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, sostituendo ottengo:

$$ U^\mu U_\mu = \left(  \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}  \right)^2 (c^2 - v^2) $$

$$ U^\mu U_\mu = \frac{c^2 - v^2}{1 - v^2/c^2}  $$

$$ U^\mu U_\mu = \frac{c^2 - v^2}{ \frac{c^2-v^2}{c^2}}  $$

$$ U^\mu U_\mu = (c^2 - v^2) \cdot \frac{c^2}{c^2-v^2}  $$

$$ U^\mu U_\mu =  c^2 $$

Tutti i termini contenenti $v$ si semplificano, e il risultato finale $c^2$ è indipendente dalla velocità dell’oggetto.

In altre parole, $U^\mu U_\mu = c^2$ è un valore invariante, che non cambia per nessun osservatore inerziale, anche se $\gamma$ e $\vec{v}$ assumono valori diversi in sistemi di riferimento differenti.

Infatti, cambiando sistema le singole componenti del quattro-vettore $U^\mu$ si trasformano, ma la sua “lunghezza” nello spazio-tempo, cioè la norma del quattro-vettore velocità, rimane costante e pari a $c^2$.

Ho quindi dimostrato che il prodotto scalare tra la forma controvariante $U^\mu$ e la forma covariante $U_\mu$ del quattro-vettore velocità è un invariante relativistico, identico per tutti gli osservatori.

Un esempio pratico

Considero un’astronave che viaggia a $0{.}6c$ lungo l’asse $x$.

$$ v = 0{.}6c $$

Calcolo il fattore di Lorentz

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{.}6^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{.}64}} = 1{.}25 $$

Il fattore $\gamma$ misura quanto il tempo proprio dell’astronave scorre più lentamente rispetto al tempo coordinato.

Il quattro-vettore velocità controvariante è il seguente:

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) $$

Poiché il moto è solo lungo $x$:

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v, 0, 0) $$

Sostituisco i valori numerici:

$$ U^\mu = (1{.}25c,  1{.}25 \times 0{.}6c, 0, 0) $$

$$ U^\mu = (1{.}25c , 0{.}75c, 0, 0) $$

La prima componente rappresenta la “velocità temporale”, le altre la parte spaziale scalata da $\gamma$.

Il quattro-vettore velocità covariante si ottiene usando la metrica di Minkowski.

$$ U_\mu = (1{.}25c, -0{.}75c, 0, 0) $$

Le componenti spaziali cambiano segno a causa della metrica.

Calcolo il prodotto scalare

$$ U^\mu U_\mu = U^0 U_0 + U^1 U_1 + U^2 U_2 + U^3 U_3 $$

$$ U^\mu U_\mu = (1{.}25c)(1{.}25c) + (0{.}75c)(-0{.}75c) + (0 \cdot 0) + (0 \cdot 0) $$

$$ U^\mu U_\mu = 1{.}5625c^2 - 0{.}5625c^2 = 1{.}0c^2 $$

$$ U^\mu U_\mu = c^2 $$

Questo esempio pratico conferma che il prodotto scalare tra le due forme di $U$ è indipendente dalla velocità e rimane sempre $c^2$: è un invariante relativistico.

E così via.