Quattro-vettore della quantità di moto
Il quattro-vettore della quantità di moto (quattro-impulso) è definito come $$ P^\mu = (\gamma m c,\ \gamma m \vec{v}) = ( \gamma mc, \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z ) $$ Dove:
- $m$ è la massa a riposo di un corpo
- $\vec{v}$ è la sua velocità
- $c$ è la velocità della luce
- $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ è il fattore di Lorentz
In alternativa, il quadrivettore si può scrivere combinando l'energia $ E $ e la quantità di moto $ p $.
$$ P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \vec{p}\right) = \left(\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z \right) $$
Il quadrivettore della quantità di moto è una delle grandezze fondamentali della relatività ristretta.
Unifica in un’unica struttura matematica due concetti che nella meccanica classica erano separati:
- la quantità di moto $\vec{p}$
- l’energia $E$
Il prodotto scalare tra la forma controvariante e quella covariante del quadrivettore è un invariante di Lorentz, ossia è costante in ogni sistema inerziale.
$$ P^\mu P_\mu = m^2c^2 $$
Da questa relazione si ottiene la formula fondamentale dell’energia relativistica:
$$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$
In tal modo, il quadrivettore della quantità di moto rappresenta un unico oggetto geometrico che unifica energia e quantità di moto, garantendo la forma covariante delle leggi di conservazione in tutti i sistemi inerziali.
La spiegazione e dimostrazione
Il vettore ha quattro componenti nella sua forma controvariante:
$$ P^\mu =( \gamma mc, \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z ) $$
La prima componente è quella temporale $P^0 = \gamma m c$ e corrisponde all'energia totale $ E = \gamma m c^2 $ divisa per $c$:
$$ P^0 = \frac{E}{c} = \frac{\gamma m c^2}{c} = \gamma m c $$
Le altre tre componenti sono spaziali $\vec{P} = \gamma m \vec{v}$ e rappresentano la quantità di moto relativistica:
$$ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $$
$$ P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \vec{p}\right) $$
La forma covariante del quattro-vettore della quantità di moto si ottiene con la metrica di Minkowski ponendo il segno negativo alle componenti spaziali.
$$ P_\mu = g_{\mu\nu} P^\mu $$
$$ P_\mu = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} P^\mu $$
$$ P_\mu = ( \gamma mc, - \gamma m v_x, - \gamma m v_y, - \gamma m v_z ) $$
Il prodotto scalare tra la forma controvariante e quella covariante è un invariante di Lorentz, ossia è lo stesso è lo stesso in tutti i sistemi di riferimento:
$$ P^\mu P_\mu = ( \gamma mc \cdot \gamma mc ) + ( \gamma m v_x \cdot ( - \gamma m v_x ) ) + ( \gamma m v_y \cdot ( - \gamma m v_y ) ) + ( \gamma m v_z \cdot ( - \gamma m v_z ) ) $$
$$ P^\mu P_\mu = ( \gamma mc )^2 - ( \gamma m v_x )^2 - ( \gamma m v_y )^2 - ( \gamma m v_z )^2 $$
$$ P^\mu P_\mu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - p^2 = m^2 c^2 $$
Raccolgo i termini spaziali
$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m c)^2 - (\gamma m)^2 (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) $$
Poiché $ v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = v^2 $ si ottiene:
$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m)^2 (c^2 - v^2) $$
Sapendo che il fattore di Lorentz è Ricordando che $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $
$$ P^\mu P_\mu = ( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} )^2 m^2 (c^2 - v^2) $$
$$ P^\mu P_\mu = \frac{1}{1 - v^2/c^2} m^2 (c^2 - v^2) $$
$$ P^\mu P_\mu = \frac{1}{\frac{ c^2-v^2 }{ c^2} } m^2 (c^2 - v^2) $$
$$ P^\mu P_\mu = \frac{c^2}{ c^2-v^2 } m^2 (c^2 - v^2) $$
$$ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $$
Questo dimostra che il prodotto scalare del quadrivettore della quantità di moto è un invariante relativistico ed è valido in qualunque sistema di riferimento inerziale.
La relazione fondamentale dell'energia relativistica
La relazione fondamentale dell'energia relativistica è la seguente $$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$
Dimostrazione
Il quadrivettore della quantità di moto nella forma controvariante è:
$$ P^\mu = \left( \gamma mc , \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z \right) $$
La forma covariante si ottiene con la metrica di Minkowski $(+,-,-,-)$.
$$ P_\mu = \left( \gamma mc, - \gamma m v_x , - \gamma m v_y , - \gamma m v_z \right) $$
La prima componente temporale è uguale all'energia totale divisa per l'energia della luce $ \gamma mc = \frac{E}{c} = \frac{\gamma mc^2}{c} $
$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z \right) $$
Poiché $ \vec{ v_x } + \vec{ v_y } + \vec{ v_z } = \vec{ v } $
$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \gamma m \vec{v} \right) $$
Il termine $ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $ è la quantità di moto
$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right) $$
$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, p_x , p_y , p_z \right) $$
La versione covariante del quadrivettore è nella forma $(+,-,-,-)$.
$$ P_\mu = \left( \frac{E}{c}, -p_x , -p_y , -p_z \right) $$
A questo punto calcolo il prodotto scalare:
$$ P^\mu P_\mu = ( \frac{E}{c} \cdot \frac{E}{c} ) + p_x \cdot ( -p_x ) + p_y \cdot ( - p_y ) + p_z \cdot (-p_z ) $$
$$ P^\mu P_\mu = \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2 $$
$$ P^\mu P_\mu = \frac{E^2}{c^2} - ( p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 ) $$
$$ P^\mu P_\mu = \frac{E^2}{c^2} - p^2 $$
Dove $p = |\vec{p}|$ è il modulo della quantità di moto relativistica.
Poiché il prodotto scalare del quadrivettore è uguale anche all’invariante $ P^\mu P_\mu = m^2 c^2$, posso scrivere
$$ m^2c^2 = \frac{E^2}{c^2} - p^2 $$
$$ m^2c^2 = \frac{E^2}{c^2} - p^2 $$
$$ m^2c^2 = \frac{E^2 - p^2 c^2 }{c^2} $$
Moltiplico entrambi i membri per $c^2$
$$ c^2 ( m^2c^2 ) = c^2 ( \frac{E^2 - p^2 c^2 }{c^2} ) $$
$$ m^2 c^4 = E^2 - p^2 c^2 $$
Infine, ricavo $ E^2 $
$$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$
Questa è la relazione fondamentale dell’energia relativistica.
Questa relazione vale per qualunque corpo materiale (con $m>0$) e mostra che l’energia totale $E$ include il termine $m c^2$ (energia a riposo) e il termine $p c$ (energia associata al moto).
E così via.
