Versori
Cos'è un versore
Il versore è un vettore di lunghezza (modulo) pari a 1 in una determinata direzione.
Una direzione qualsiasi (retta) comprende infiniti vettori di lunghezza differente, in un verso o nell'altro.
Esiste però un solo vettore di lunghezza unitaria ossia con modulo pari a 1.
Cosa significa versore?
E' detto versore perché indica un verso di percorrenza.
A cosa serve il versore?
Posso ottenere tutti gli altri vettori della direzione moltiplicando il versore per uno scalare k.
Esempio
Il versore v ha lunghezza unitaria.
Il vettore w ha invece un modulo pari a 3.
Per ottenere il vettore w utilizzo l'operazione del prodotto di un vettore per uno scalare k (numero)
Mi basta moltiplicare il versore v per il numero k=3.
$$ \vec{w} = 3 \cdot \vec{v} $$
Il risultato del prodotto è un vettore con la stessa direzione e verso del versore v e una lunghezza tre volte quella di v.
Esempio 2
Il versore v ha lunghezza unitaria.
Il vettore u ha modulo pari a 2 ma verso opposto rispetto al versore.
Nota. Il vettore u ha modulo pari a 2. E' errato dire che ha modulo -2. Il modulo è la lunghezza del vettore che è sempre la stessa in un verso (+2) o nell'altro (-2). E' il verso a essere opposto rispetto al versore.
Per ottenere il vettore u moltiplico il versore v per il numero -2.
$$ \vec{w} = -2 \cdot \vec{v} $$
Il segno negativo dello scalare -2 mi permette di ottenere anche i vettori con verso opposto rispetto al versore v.
$$ \vec{w} = 2 \cdot \vec{-v} $$
Dove -v è il vettore opposto del versore v.
In conclusione, posso ottenere qualsiasi vettore della direzione tramite il versore.
Versori degli assi
La combinazione lineare dei versori dell'asse delle ascisse (x), delle ordinate (y) e dell'altezza (z) di un sistema di riferimento cartesiano nello spazio mi permette di ottenere qualsiasi altro vettore dello spazio vettoriale. $$ \vec{w} = \alpha_1 \cdot \vec{u_x} + \alpha_2 \cdot \vec{u_y} + \alpha_3 \cdot \vec{u_z} $$
In genere i versori degli assi si indicano con ux, uy, uz oppure j,k,i oppure con il simbolo ^ sopra la lettera.
I simboli α1, α2, α3 sono scalari ossia numeri.
Esempio
In uno spazio a due dimensioni ci sono due versori ux, uy.
Nota. Per semplicità utilizzo i versori della base canonica $$ \vec{u_x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ \vec{u_y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Avrei potuto usare come versori ux e uy qualsiasi altra coppia di vettori dello spazio vettoriale purché linearmente indipendenti tra loro.
La combinazione lineare dei versori direttori del sistema cartesiano mi permette di ottenere qualsiasi altro vettore nello spazio vettoriale.
Ad esempio, per ottenere il vettore w = (2,1)T
Nota. Ho usato la notazione algebrica dove T indica la trasformazione del vettore da riga a colonna. $$ \vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \ , \ 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Utilizzo questa combinazione lineare dei versori
$$ \vec{w} = \alpha_1 \cdot \vec{u_x} + \alpha_2 \cdot \vec{u_y} $$
con gli scalari α1 = 2 e α2 = 1
$$ \vec{w} = 2 \cdot \vec{u_x} + 1 \cdot \vec{u_y} $$
Scrivo i versori nella loro forma algebrica
$$ \vec{w} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Poi svolgo le due operazioni di prodotto di un vettore per uno scalare.
$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Infine sommo tra loro i due vettori.
$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} 2+0 \\ 0+1 \end{pmatrix} $$
Il risultato finale è il vettore w.
$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
In questo modo posso ottenere qualsiasi altro vettore dello spazio cartesiano.
E così via.
