La media aritmetica
La media aritmetica è la somma di tutti i termini x1, x2, ... ,xn divisa per il numero n di termini. $$ \mu = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_i $$
La media aritmetica è la media più conosciuta in generale ed è la più semplice da calcolare.
Quando si parla di "media" senza altre specificazioni, spesso ci si riferisce alla media aritmetica.
A cosa serve?
La media aritmetica è uno degli indici sintetici di posizione.
Fornisce informazioni sul valore centrale della distribuzione di dati.
I limiti della media aritmetica. La media aritmetica non fornisce alcuna informazione sull'andamento del fenomeno, ne sulla reale distribuzione dei dati. Il valore medio potrebbe essere anche molto lontano dai reali valori della distribuzione. Inoltre, la media è da considerarsi un buon indice di posizione centrale soltanto se si trova nella zona della distribuzione a maggiore concentrazione di dati. E non sempre è così.
Un esempio pratico
Considero la seguente distribuzione di valori
$$ 1 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 3 \ , \ 6 \ , \ 8 $$
In questo caso n=6 perché la distribuzione è composta da 6 valori
La media aritmetica della distribuzione è uguale a 5
$$ \mu = \frac{1+5+7+3+6+8}{6 }$$
$$ \mu = \frac{30}{6 }$$
$$ \mu = 5 $$
Esempio 2
Considero quest'altra distribuzione
$$ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 27 \ , \ 28 \ , \ 29 $$
La media aritmetica della distribuzione è uguale a 15
$$ \mu = \frac{1+2+3+27+28+29}{6 }$$
$$ \mu = \frac{90}{6 }$$
$$ \mu = 15 $$
Nota. In questo caso il valore medio è molto lontano dai reali valori della distribuzione perché questi si concentrano agli estremi.
Esempio 3
Dato un insieme di n=5 numeri
$$ 7 \:, \: 10 \:, \: 6 \:, \: 2 \:, \: 5$$
La media aritmetica è 6
$$ x = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 x_i $$
$$ x = \frac{1}{5} \cdot (7+10+6+2+5) $$
$$ x = \frac{1}{5} \cdot (30) $$
$$ x = 6 $$
Osservazioni
Alcune osservazioni sulla media aritmetica
- La media aritmetica ponderata
La media aritmetica ponderata è una versione alternativa della media aritmetica semplice in cui a ogni termine è associato un peso arbitrario (wi). $$ \mu = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i \cdot w_i}{ \sum_{i=1}^n w_i } $$
E così via.
