La media aritmetica ponderata
La media aritmetica ponderata è il quoziente tra la somma dei valori (x) moltiplicati per i loro pesi (w) e la somma dei pesi stessi. $$ \mu = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i \cdot w_i}{ \sum_{i=1}^n w_i } $$
I pesi possono essere scelti appositamente per dare maggiore importanza ad alcune modalità.
In alternativa, i pesi possono anche essere le frequenze assolute delle modalità.
In quest'ultimo caso si parla di media aritmetica di una distribuzione di frequenze.
Nota. La media aritmetica è un caso particolare di media aritmetica ponderata in cui tutti i pesi (w) sono uguali a 1.
Un esempio
In questa tabella sono raggruppati i voti di una sessione di esame
La colonna "voto" elenca le modalità xn possibili dei voti da 18 a 30.
La colonna "studenti" è il peso wn associato a ogni modalità, ossia il numero di studenti che hanno preso quel voto.
In questo caso i pesi sono le frequenze assolute delle modalità.
Per calcolare la media devo usare la formula della media ponderata.
$$ \mu = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i \cdot w_i}{ \sum_{i=1}^n w_i } $$
$$ \mu = \frac{18 \cdot 2 + 20 \cdot 7 + 21 \cdot 4 + 22 \cdot 3 + 24 \cdot 6 + 25 \cdot 8 + 26 \cdot 4 + 27 \cdot 3 + 28 \cdot 2 + 30 \cdot 1}{2 + 7+ 4 + 3 + 6 + 8 + 4 + 3 + 2+ 1} $$
$$ \mu = \frac{36 + 140 + 84 + 66 + 144 + 200 + 104 + 81 + 56 + 30}{40} $$
$$ \mu = \frac{941}{40} $$
$$ \mu = 23,525 $$
La media aritmetica ponderata è 23,525
Esempio 2
Un esame universitario è suddiviso in una parte scritta e una parte orale.
Il voto sulla parte scritta incide sul 70% del voto finale mentre quello all'orale sul restante 30%.
Uno studente ottiene 20 al compito scritto e 26 all'orale.
La media aritmetica dei due voti è 23.
$$ \mu = \frac{20+26}{2} = \frac{46}{2} = 23 $$
Tuttavia, in questo caso i voti allo scritto e all'orale hanno pesi diversi.
Per calcolare il voto finale devo usare la media aritmetica ponderata
$$ \mu = \frac{20 \cdot 70+26 \cdot 30}{70+30} = \frac{1400+780}{100} = \frac{2180}{100} = 21,8 $$
La media aritmetica ponderata è 21,8.
E' molto più bassa rispetto alla media aritmetica semplice perché il voto allo scritto ha un peso maggiore.
Osservazione
Alcune osservazioni sulla media ponderata
- La media aritmetica è un caso particolare di media ponderata con tutti i pesi uguali a uno.
E così via.
