La media armonica
La media armonica è il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori $$ \mu_h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} } = \frac{n}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n} } $$
A cosa serve?
La media armonica è un indice sintetico della posizione.
Non restituisce lo stesso valore della media aritmetica.
Quando usare la media armonica? La media armonica è usata per il calcolo delle grandezze inversamente proporzionali tra loro, per grandezze definite come rapporto di altre grandezze (es. velocità) o quando la distribuzione dei dati si sviluppa in progressione aritmetica, ossia quando c'è una differenza costante tra i termini consecutivi. E' molto usata anche per calcolare il potere di acquisto di una moneta, in quanto è il reciproco del prezzo dei merci.
Un esempio pratico
Considero questa distribuzione di dati
$$ 1 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 3 \ , \ 6 \ , \ 8 $$
In questo caso n=6 perché nella distribuzione ci sono 6 numeri
La media armonica della distribuzione è uguale a 3,04
$$ \mu_h = \frac{ 6 }{ \frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} } $$
$$ \mu_h = \frac{ 6 }{ 1,97} $$
$$ \mu_h = 3,04 $$
Esempio 2
Considero la velocità di due automobili
$$ x_1 = 60 \ km/h $$
$$ x_2 = 120 \ km/h $$
Le due velocità sono due grandezze definite dal rapporto di altre grandezze (spazio/tempo)
La media armonica delle due velocità è 80 km/h
$$ \mu_h = \frac{2}{ \frac{1}{60} + \frac{1}{120} } = \frac{2}{ \frac{3}{120} } = 2 \cdot \frac{120}{3} = 80 \ km/h $$
Nota. La media aritmetica delle due velocità è 90 km $$ \mu = \frac{60+120}{2} = \frac{180}{2} = 90 \ km/h $$
Osservazioni
Alcune osservazioni sulla media armonica
- Tutti i termini devono essere non nulli. Per calcolare la media armonica tutti i termini della distribuzione devono essere diversi da zero. In caso contrario, il reciproco del termine causerebbe una divisione per zero (impossibile).
- La media armonica ponderata
La media armonica ponderata è una versione alternativa della media armonica semplice in cui a ogni termine è associato un peso arbitrario (wi). $$ \mu = \frac{ \sum w_i}{ \sum \frac{1}{x_i} \cdot w_i} $$
E così via.
