La media armonica ponderata

La media armonica ponderata è una variante della media armonica in cui ciascun elemento viene moltiplicato per un peso. Si ottiene dividendo la somma dei pesi per la somma dei valori reciproci ponderati. $$ \mu = \frac{ \sum w_i}{ \sum \frac{1}{x_i} \cdot w_i} $$

La scelta dei pesi da assegnare ai termini è arbitaria.

In genere, assegno un peso maggiore ai termini a cui voglio dare maggiore importanza.

I pesi possono anche essere le frequenze assolute dei termini nella distribuzione.

Un esempio pratico

L'esame di matematica è diviso in tre compiti A, B, C

Uno studente prende 18 al primo compito (A), 22 al secondo compito (B) e 26 al terzo compito (C).

La media armonica semplice dei tre compiti è 21,58

$$ \mu = \frac{3}{\frac{1}{18}+ \frac{1}{22} + \frac{1}{26} } $$

$$ \mu = \frac{3}{0,139} $$

$$ \mu = 21,58 $$

Tuttavia, il professore decide che i compiti hanno pesi diversi.

$$ w_A = 4 \\ w_B = 3 \\ w_C=2 $$

Per calcolare la media uso la formula della media armonica ponderata.

$$ \mu = \frac{ \sum w_i}{ \sum \frac{1}{x_i} \cdot w_i} $$

$$ \mu = \frac{ 4+3+2}{ \frac{1}{18} \cdot 4 + \frac{1}{22} \cdot 3 + \frac{1}{26} \cdot 2 } $$

$$ \mu = \frac{ 9 }{ \frac{4}{18} + \frac{3}{22} + \frac{2}{26} } $$

$$ \mu = \frac{ 9 }{ \frac{2}{9} + \frac{3}{22} + \frac{1}{13} } $$

$$ \mu = 20,66 $$

La media armonica ponderata dei voti è μ=20,66.

In questo caso è più bassa rispetto alla media armonica semplice (μ=21,58) perché il voto al compito A ha un peso maggiore rispetto agli altri due compiti.

E così via.