Teorema della trasformata della derivata
Secondo il teorema della trasformata della derivata
La trasformata della derivata di una funzione f(t) è uguale a s volte la trasformata della funzione stessa meno il valore che assume la funzione f(t) all'istante t=0. $$ L[f'(t)] = s \cdot F(s)-f(0) $$
La trasformata di Laplace della funzione f(t) è
$$ L[f(t)]=F(s) $$
La trasformata della derivata prima è
$$ L[f'(t)] = s \cdot F(s)-f(0) $$
La trasformata della derivata seconda è
$$ L[f''(t)] = s \cdot L[f'(t)]-f'(0) $$
$$ L[f''(t)] = s \cdot [s \cdot F(s)-f(0)]-f'(0) $$
$$ L[f''(t)] = s^2 \cdot F(s) - s \cdot f(0) -f'(0) $$
La trasformata della derivata terza è
$$ L[ \frac{d^3 \: f(t) }{dt^3} ] = s^3 \cdot F(s) - s^2 \cdot f(0) - s \cdot f'(0) - f''(0) $$
E via dicendo
Pertanto, la trasformata di una derivata equivale a moltiplicare per s.
Nota. E' l'esatto contrario della trasformata di un integrale. La trasformata di un integrale equivale a dividere per s.
Dimostrazione
La trasformata della derivata prima della funzione f(t) è
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = \int_0^{ \infty } \frac{d \: f(t)}{dt} e^{-st} \: dt $$
dove il secondo membro dell'equazione è l'integrale fondamentale della trasformata di Laplace, in cui ho sostituito f(t) con d f(t)/dt
Nota. Sapendo che la derivata del prodotto di due funzioni è $$ \frac{ d \:[ f(t) \cdot e^{-st} ] } { dt} = \frac{d \: f(t)}{dt} e^{-st} + f(t) \cdot (-s) \cdot e^{-st} $$ $$ \frac{ d \:[ f(t) \cdot e^{-st} ] } { dt} + f(t) \cdot s \cdot e^{-st} = \frac{d \: f(t)}{dt} e^{-st} $$ Il secondo membro è uguale alla funzione integranda dell'integrale fondamentale di Laplace.
Sostituisco la funzione integranda df(t)/dt e-st nell'integrale
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = \int_0^{ \infty } \frac{d \: f(t)}{dt} e^{-st} \: dt $$
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = \int_0^{ \infty } \frac{ d \:[ f(t) \cdot e^{-st} ] } { dt} + f(t) \cdot s \cdot e^{-st} \: dt$$
Suddivido l'integrale in due integrali tramite la proprietà additiva del calcolo integrale
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = \int_0^{ \infty } \frac{ d \:[ f(t) \cdot e^{-st} ] } { dt} \: dt + \int_0^{ \infty } f(t) \cdot s \cdot e^{-st} \: dt$$
Applico la regola del prodotto di una costante per un integrale.
Sposto la variabile s fuori dal secondo integrale, poiché è slegata dalla variabile di integrazione t.
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = \int_0^{ \infty } \frac{ d \:[ f(t) \cdot e^{-st} ] } { dt} \: dt + s \cdot \int_0^{ \infty } f(t) \cdot e^{-st} \: dt$$
Il secondo integrale è la trasformata fondamentale di Laplace ossia F(s)
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = \int_0^{ \infty } \frac{ d \:[ f(t) \cdot e^{-st} ] } { dt} \: dt + s \cdot F(s) $$
A questo punto calcolo il primo integrale con la formula fondamentale dell'integrazione
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = [ f(t) \cdot e^{-st} ]^{\infty}_0 + s \cdot F(s) $$
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = ( f(t) \cdot e^{-st} ) |_{t=\infty} - (f(t) \cdot e^{-st} )|_{t=0} ) + s \cdot F(s) $$
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = ( f(t) \cdot 0 ) |_{t=\infty} - (f(t) \cdot 1 )|_{t=0} ) + s \cdot F(s) $$
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = 0 - f(0) + s \cdot F(s) $$
$$ L[ \frac{d \: f(t)}{dt} ] = s \cdot F(s) - f(0) $$
Il teorema della trasformata di una derivata è dimostrato.
Un esempio pratico
Per semplicità indico con y la funzione f(t) senza indicare il tempo
$$ y=f(t) $$
Ho l'equazione differenziale
$$ y''+2y'+y=0 $$
con le seguenti condizioni iniziali nell'istante t=0
$$ y'(0)=-1 \\ y(0)=1 \\ L[0]=0 $$
Comincio a risolvere l'equazione differenziale
$$ L[y''+2y'+y=0] - L[0] $$
$$ L[y'']+2L[y']+L[y]-L[0]=0 $$
Poiché so già che L[0]=0 lo elimino dall'equazione
$$ L[y'']+2L[y']+L[y]=0 $$
A questo punto applico il teorema della trasformata della derivata a L[y''] , L[y'] e L[y].
$$ L[y']= s \cdot Y(s) - y(0) $$
$$ L[y'']=s \cdot L[y']-y'(0) = s \cdot (s \cdot Y(s) - y(0) )-y'(0) = s^2 \cdot Y(s) - s \cdot y(0) -y'(0) $$
Sapendo che y'(0)=-1 e y(0)=1 le sostituisco
$$ L[y] = Y(s) $$
$$ L[y']= s \cdot Y(s) - 1 $$
$$ L[y'']=s^2 \cdot Y(s) - s +1 $$
A questo punto sostituisco le trasformate L[y''] , L[y'] e L[y] nell'equazione.
$$ L[y'']+2L[y']+L[y]=0 $$
$$ (s^2 Y(s) - s +1) +2(sY(s)-1)+Y(s)=0 $$
Con pochi passaggi algebrici ottengo la funzione Y(s)
$$ Y(s) ( s^2 Y(s) +2s+1 ) -2-s+1 = 0 $$
$$ Y(s) ( s^2 Y(s) +2s+1 ) = s+2-1 $$
$$ Y(s) ( s^2 Y(s) +2s+1 ) = s+1 $$
$$ Y(s) = \frac{s+1} {s^2 Y(s) +2s+1} $$
$$ Y(s) = \frac{s+1} {(s+1)^2} $$
$$ Y(s) = \frac{1} {s+1} $$
Una volta ottenuta la funzione Y(s), posso trovare la funzione y(t) tramite l'antitrasformata di Y(s)
$$ y(t) = L^{-1}[Y(s)] $$
$$ y(t) = L^{-1}[\frac{1} {s+1}] $$
$$ y(t) = e^{-t} $$
Ho trovato la funzione incognita y(t) del problema.
E così via.
