La differenza tra poli e zeri in una funzione di trasferimento

Se una funzione di trasferimento di un sistema è una funzione razionale, ossia un rapporto di polinomi in s, gli zeri e i poli sono rispettivamente le radici del polinomio al numeratore e al denominatore

$$ G(s) = \frac{F(s)}{X(s)} = \frac{b_0s^n+b_1s^{n-1}+...+b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+...+_n} $$

Una radice è un valore che annulla il valore complessivo di un polinomio.

• Gli zeri sono i valori di s che azzerano la funzione G(s) perché annullano il polinomio al numeratore F(s).
• I poli della trasformata sono i valori di s che rendono infinita la funzione G(s) perché azzerano il polinomio al denominatore X(s).

Un esempio pratico

Ho una funzione di trasferimento in forma razionale

$$ G(s) = \frac{F(s)}{X(s)} = \frac{s^3-6s^2+7s-2}{-x^3+2x^2-x+2} $$

Analizzo la funzione F(s) al numeratore.

Dal punto di vista grafico le radici della F(s) sono i punti in cui il grafico interseca l'asse x.

In questi punti la funzione G(s) si annulla. Per questa ragione questi punti sono detti zeri.

Ora analizzo graficamente la funzione al denominatore X(s).

Le radici della funzione X(s) sono i punti in cui la funzione interseca l'asse delle ascisse.

In questi punti la funzione G(s) tende a infinito. Per questa ragione questi punti sono detti poli.

In questo esempio ci sono zeri e poli reali.

In altri casi è possibile trovare anche poli e zeri complessi.

E così via.