Teoremi delle trasformate di Laplace
I principali teoremi della trasformata di Laplace
- Teorema del prodotto per una costante
La trasformata del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della trasformata della funzione per la costante stessa $$ L[k \cdot f(t)] = k \cdot L[f(t)] $$
- Teorema della somma
La trasformata di una somma di funzione è uguale alla somma delle trasformate delle funzioni $$ L[f(t)+g(t)] = L[f(t)]+L[g(t)] $$
- Teorema della combinazione lineare
La L-trasformata di una combinazione lineare di funzioni è uguale alla combinazione lineare delle singole funzioni. $$ L[a \cdot f(t) + b \cdot g(t) ] = a \cdot L[f(t)] + b \cdot L[g(t)] = a \cdot F(s)+b \cdot G(s) $$
- Teorema della traslazione
La trasformata di Laplace di una funzione traslata nel tempo in un intervallo t0 è uguale alla trasformata della funzione non traslata moltiplicata per il termine e-t0s $$ L[f(t-t_0)] = L[f(t)] \cdot e^{-t_0s} $$
- Teorema della trasformata della derivata
La trasformata di Laplace della derivata di una funzione è uguale a s volte la trasformata della funzione non derivata meno la funzione nell'istante iniziale. $$ L[f'(t)] = s \cdot L[f(t)]-f(0) $$
- Teorema della trasformata dell'integrale
La trasformata di Laplace dell'integrale di una funzione f(t) nulla per t<0 è uguale a $$ L[\int_{0}^{t} f(t) \: dt] = \frac{1}{s} L[f(t)] $$
- Teorema della trasformata del prodotto integrale
Date due trasformate di Laplace F1(s) e F2(s) delle funzioni f1(t) e f2(t) vale la seguente relazione $$ L[ \int_0^∞ f_1(τ)f_2(t-τ)dτ] = F_1(s)F_2(s) $$
- Trasformata della derivata prima
La L-trasformata della derivata prima di una fuzione f(t) è uguale a $$ L[\frac{df(t)}{dt}] = s \cdot F(s) - f(0)^+ $$ dove f(0)+ è il valore della funzione nell'istante iniziale.
- Trasformata dell'integrale
La L-trasformata dell'integrale di una fuzione f(t) è uguale a $$ L[\int{f(t)dt}] = \frac{1}{s}F(s)+\frac{\int_0^{0+} f(t)dt }{s} $$ dove l'ultima componente è il valore della primitiva di f(t) dall'istante iniziale in poi. Se l'istante è iniziale (t=0) diventa $$ L[\int{f(t)dt}] = \frac{1}{s}F(s) $$
- Teorema del valore iniziale
Se F(s)=L[f(t)] allora $$ \lim_{t \rightarrow 0^+} f(t) = \lim_{s \rightarrow ∞} s \cdot F(s) $$
- Teorema del valore finale
Se F(s)=L[f(t)] allora $$ \lim_{t \rightarrow ∞} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} s \cdot F(s) $$
- Teorema dell'esponenziale per una funzione del tempo
$$ L[ e^{at} \cdot f(t) ] = F(s-a) $$
