L'antitrasformata di Laplace
Spesso la trasformata di Laplace è una funzione composta da un rapporto di polinomi in s.
$$ F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} $$
Pertanto la funzione razionale è
$$ F(s) = \frac{b_ms^m+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0} $$
La differenza n-m dei gradi dei polinomi al numeratore e denominatore è detta grado relativo della funzione razionale F(s).
- Se il grado relativo è maggiore di zero (frazione strettamente propria), allora il rapporto si può scomporre in una somma di termini antitrasformabili, detta somma di fratti semplici.
- Se il grado relativo è zero (frazione propria), allora il rapporto è composto dalla somma di una costante e una frazione strettamente propria che possono essere antitrasformate separatamente.
L'equazione algebrica che si ottiene annullando un polinomio ammette n radici ed è detta equazione caratteristica.
$$ C(s)= s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0=0 $$
Esempio. Il polinomio $$ x^2-6x+9 $$ ha una radice uguale a x=3 perché $$ 3^2 -6 \cdot 3 + 9 = 0 $$
Come ogni polinomio, un'equazione caratteristica può essere scritta come prodotto in una forma fattorizzata
$$ (-1)^m(x-p_1)(x-p_2)...(x-p_m) $$
Esempio. La precedente equazione ha una sola radice (m=1) con valore p1=3. Quindi, posso scrivere il polinomio come $$ (-1)^1(x-3) = (3-x) $$ ossia $$ (3-x)(3-x) $$ che è uguale a $$ 9-3x-3x+x^2 $$ ossia $$ x^2 -6x +9 $$
Pertanto, se il polinomio P ha n radici (zeri) z e il polinomio Q ha m radici p, posso riscrivere la funzione razionale in questo modo:
$$ F(s) = \frac{(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_m)} K $$
Attenzione. Se compare nei fratti semplici un fattore alla n-esima potenza, si aggiungono n frazioni, ognuna con denominatore uguale al fattore di base elevato a potenze crescenti da 1 a n. Ad esempio $$ F(s)= \frac{P}{(x+1)^3} = \frac{A}{(x+1)^3} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{(x+1)}$$ Viceversa se la potenza è nel fratto semplice si lascia inalterato. $$ F(s)= \frac{P}{(x^3+1)} = \frac{A}{(x^3+1)} $$
Le n radici possono essere reali o complesse.
Se una radice è complessa, allora esiste anche la sua coniugata.
Le costanti complesse z sono dette zeri, mentre le costanti complesse p sono dette poli.
Il coefficiente K è invece un coefficiente reale uguale a b.
Quindi, la funzione razionale è determinata (a meno di K) dai suoi poli e zeri.
La rappresentazione grafica della funzione complessa è
Nota. Qualsiasi numero complesso può essere rappresentato sul piano cartesiano da due punti e un vettore.
Come calcolare l'antitrasformata
A seconda dei poli si usa un diverso metodo di calcolo dell'antitrasformata.
Possono esserci due casi possibili
- Poli semplici. Tutti i poli sono diversi tra loro. E' il caso più semplice e più frequente.
- Poli multipli. Alcuni poli sono uguali.
Poli semplici
Si sviluppa l'antitrasformata in una somma di rapporti semplici
$$ F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}= \sum_{i=1}^{n} \frac{K_i}{s-p_1} $$
Dove le costanti K (residui dei poli) sono dei numeri reali determinati dalla seguente espressione:
$$ K_i=(s-p_i) \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{P(s)}{(p_i-p_1)...(p_i-p_{i-1})(p_i-p_{i+1})...(p_i-p_n) }$$
Attenzione. Nel denominatore non c'è (pi-pi). Se ci fosse moltiplicherebbe tutti gli altri per zero.
L'antitrasformata si ottiene moltiplicando i residui per l'esponenziale ept.
$$ f(t) = \sum_{i=1}^{n} K_i \cdot e^{p_it} $$
Esempio. Ho una funzione di Laplace $$ F(s)=\frac{4s+2}{(s+1)(s+3)(s+5)} $$ La sviluppo nel seguente modo $$ F(s)=\frac{K_1}{(s+1)} + \frac{K_2}{(s+3)} + \frac{K_3}{(s+5)} $$ Le radici di Q(s) sono diverse. $$ p_1 = -1 \\ p_2 = -3 \\ p_3 =-5 $$ Calcolo i rispettivi residui sostituendo i poli a s. $$ K_1=\frac{4(-1)+2}{((-1)+3)((-1)+5)}=-\frac{1}{4} $$ $$ K_2=\frac{4(-3)+2}{((-3)+1)((-3)+5)}=\frac{5}{2} $$ $$ K_3=\frac{4(-5)+2}{((-5)+1)((-5)+3)}=-10 $$ Sostituisco i valori reali dei residui K $$ F(s)=\frac{K_1}{(s+1)} + \frac{K_2}{(s+3)} + \frac{K_3}{(s+5)} $$ $$ F(s)=\frac{-\frac{1}{4}}{(s+1)} + \frac{\frac{5}{2} }{(s+3)} + \frac{-10}{(s+5)} $$ Infine ottengo l'antitrasformata moltiplicando i residui per l'esponenziale ept.$$ f(t) = \sum_{i=1}^{n} K_i \cdot e^{p_it} $$ $$ f(t)= -\frac{1}{4} \cdot e^{-1}t + \frac{5}{2} \cdot e^{-3}t - 10 \cdot e^{-5}t $$
Poli multipli
Se la funzione razionale F(s) ha poli multipli, suddivido i poli in h gruppi composti da poli coincidenti.
In questo modo rientro nel caso iniziale dei poli distinti.
Ogni gruppo ha un ordine di molteplicità ri≥1 dove i=1,...,h.
Poi sviluppo la funzione in fratti.
$$ F(S) = \frac{P(S)}{Q(S)} = \frac{P(S)}{(s-p_1)^{r_1}(s-p_2)^{r_2}...(s-p_h)^{r_h}} $$
che equivale a
$$ F(S) = \sum_{i=1}^{h} \sum_{l=1}^{l-1} \frac{K_{il}}{(s-p_i)^{r_i-l+1}} $$
dove le costanti sono
$$ K_{il} = \frac{1}{(l-1)!} \frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}} (s-p_i)^{r_i} F(s) $$
Esempio. La trasformata di Laplace è un rapporto di Polinomi $$ F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{1}{s^3+4s^2+5s+2} $$ Per prima cosa trovo le radici (poli) del polinomio Q(s) con la scomposizione di Ruffini. Sono p1=-1, p2=-1, p3=-2. Si tratta di poli multipli perché la radice -1 appare due volte. Quindi la sviluppo in fratti. $$ F(s) = \frac{P(S)}{(s-p_1)^{r_1}(s-p_2)^{r_2}...(s-p_h)^{r_h}} $$ $$ F(s) = \frac{1}{(s-(-1))^2(s-(-2))} = \frac{1}{(s+1)^2(s+2)} $$ Poi la sviluppo nella forma equivalente. Il primo gruppo (p1=p2=-1) ha due radici r1=2 mentre il secondo gruppo (p3=-2) ne ha una sola r2=1. $$ F(S) = \sum_{i=1}^{h} \sum_{l=1}^{l-1} \frac{K_{il}}{(s-p_i)^{r_i-l+1}} $$ $$ F(s) = \frac{K_{11}}{(s+1)^2}+\frac{K_{12}}{(s+1)^1} + \frac{K_{21}}{s+2} $$ Poi applico la formula dei poli multipli per calcolare le costanti K. Il primo gruppo i=1 ossia (s+1) ha due poli l=2 mentre il secondo gruppo i=2 ha un solo polo l=1. $$ K_{il} = \frac{1}{(l-1)!} \frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}} (s-p_i)^{r_i} F(s) $$ Il primo gruppo i=1 è composto da due elementi con s=-1.
Il primo elemento si calcola in questo modo:
i=1, l=1, s=-1 $$ K_{il} = \frac{1}{(l-1)!} \frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}} (s-p_i)^{r_i} F(s) $$ $$ K_{11} = \frac{1}{(1-1)!} \frac{d^{1-1}}{ds^{1-1}} (s+1)^2 F(s) = (s+1)^2 F(s) $$ $$ K_{11} = (s+1)^2 F(s) = (s+1)^2 \frac{1}{(s+1)^2(s+2)} = \frac{1}{(s+2)} $$ $$ K_{11} = \frac{1}{(s+2)} = \frac{1}{((-1)+2)} = 1 $$ Il secondo elemento si calcola in questo modo
i=1, l=2, s=-1 $$ K_{il} = \frac{1}{(l-1)!} \frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}} (s-p_i)^{r_i} F(s) $$ $$ K_{12} = \frac{1}{(2-1)!} \frac{d^{2-1}}{ds^{2-1}} (s+1)^2 F(s) = 1 \frac{d[ (s+1)^2 \cdot F(s)]}{ds} $$ $$ K_{12} = \frac{d[ (s+1)^2 \cdot \frac{1}{(s+1)^2(s+2)}]}{ds} = \frac{d[ \frac{1}{(s+2)}]}{ds} = \frac{-1}{(s+2)^2}$$ $$ K_{12} = \frac{-1}{((-1)+2)^2} = -1 $$ Il secondo gruppo i=2 è composto da un solo elemento (l=1) e si calcola come i poli semplici. In questo caso s=-2.
i=2, l=1, s=-2 $$ K_{il} = \frac{1}{(l-1)!} \frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}} (s-p_i)^{r_i} F(s) $$$$ K_{21} = \frac{1}{(1-1)!} \frac{d^{1-1}}{ds^{1-1}} (s+2)^1 F(s) = (s+2) F(s) $$ $$ K_{21} = (s+2) \frac{1}{(s+1)^2(s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2} $$ $$ K_{21} = \frac{1}{(s+1)^2} = \frac{1}{((-2)+1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1 $$ Una volta trovate le costanti K1,K2,K3 posso sostituire i valori nella formula $$ F(s) = \frac{K_{11}}{(s+1)^2}+\frac{K_{12}}{s+1} + \frac{K_{21}}{s+2} $$ $$ F(s) = \frac{K_{11}}{(s+1)^2}+\frac{K_{12}}{s+1} + \frac{K_{21}}{s+2} $$ $$ F(s) = \frac{1}{(s+1)^2}+\frac{(-1)}{s+1} + \frac{1}{s+2} $$ $$ F(s) = \frac{1}{(s+1)^2}-\frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2} $$ A questo punto posso calcolare l'antitrasformata di ogni singola componente $$ f(t) = e^{-2t} - e^{-t} +t \cdot e^{-t} $$
La tabella di antitrasformazione
Per evitare di compiere tutti i calcoli matematici posso usare anche delle tabelle di antitrasformazione.
Prima trasformo lo sviluppo in fratti
$$ F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} $$
nel seguente modo
$$ F(S) = \frac{K_0'}{s} + \sum_{i=1}^{h} \frac{K_i'}{1+τ_is} + \sum_{i=1}^{k} \frac{K"_i(σ_i^2+ω_i^2)(1+T_is)}{(s-σ)^2+ω_i^2} $$
Dove il primo termine è l'eventuale polo nell'origine.
La prima sommatoria (termini primo ordine) sono i poli reali non nulli.
La seconda sommatoria (termini del secondo ordine) sono i poli complessi coniugati.
Poi verifico se esiste nella tabella delle L-trasformazioni tipiche.
| F(s) | f(t) |
| $$ \frac{1}{s} $$ | $$ 1 \cdot u(t) $$ |
| $$ \frac{1}{1+τs} $$ | $$ \frac{1}{τ} e^{-\frac{t}{τ} } $$ |
E così via.
