Teorema della trasformata dell'integrale

Secondo il teorema della trasformata dell'integrale

La trasformata di Laplace dell'integrale di una funzione f(t) nulla per t<0 è uguale a $$ L[\int_{0}^{t} f(t) \: dt] = \frac{1}{s} F(s) $$

Dove F(s) è la trasformata di Laplace della funzione f(t)

La trasformata di un integrale equivale a dividere per s.

Nota. E' l'esatto contrario della trasformata di una derivata. La trasformata di una derivata equivale a moltiplicare per s.

Dimostrazione

Per dimostrare la trasformata di Laplace dell'integrale

$$ L[ \int_0^{\infty} f(t) \: dt ] $$

utilizzo la trasformata di Laplace della convoluzione

$$ L[ \int_0^{\infty} f(τ) \cdot g(t-τ) \: dτ ] = F(s) \cdot G(s) $$

Assegno alla funzione g(t) la funzione gradino unitario g(t)=δ_-1, in questo modo il prodotto di f(x) per 1 non cambia l'integrale.

$$ L[ \int_0^{\infty} f(τ) \cdot δ_{-1}(t-τ) \: dτ ] = F(s) \cdot G(s) $$

Nota. L'integrale del prodotto tra la funzione e il gradino unitario f·δ-1 equivale all'integrale di f·1. $$ L[ \int_0^{\infty} f(τ) \cdot δ_{-1}(t-τ) \: dτ ] = L[ \int_0^{\infty} f(τ) \cdot 1 \: dτ ] $$ Pertanto, in entrambi i casi il risultato è F(S)G(S) con G(S) uguale alla trasformata del gradino unitario.

La trasformata di Laplace del gradino unitario è G(s)=1/s

$$ L[ \int_0^{\infty} f(τ) \cdot δ_{-1}(t-τ) \: dτ ] = F(s) \cdot \frac{1}{s} $$

Pertanto, la trasformata di Laplace dell'integrale di f(x) e F(s)/s.

$$ L[ \int_0^{\infty} f(t) \: dt ] = \frac{F(s)}{s} $$

E così via.