Esempio di una matrice come morfismo nella teoria delle categorie
In questo esempio considero la categoria delle matrici, dove gli oggetti sono spazi vettoriali (o insiemi di vettori) e i morfismi sono le matrici che mappano da uno spazio vettoriale a un altro.
Ad esempio, una matrice \( 2 \times 3 \) posso vederla come un morfismo tra uno spazio vettoriale a 3 dimensioni (dominio) e uno spazio vettoriale a 2 dimensioni (codominio).
$$ M= \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
\end{bmatrix} $$
Questo perché una matrice \( 2 \times 3 \) ha 2 righe e 3 colonne e può essere usata per trasformare un vettore a 3 dimensioni (R3) in un vettore a 2 dimensioni (R2).
$$ M \mathbf{v} = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix} $$
In altre parole, se chiamo lo spazio vettoriale a 3 dimensioni \( V \) e lo spazio vettoriale a 2 dimensioni \( W \), allora una matrice \( 2 \times 3 \) rappresenta un morfismo f:V→W.
$$ f: V \rightarrow W $$
Quindi, una matrice \( 2 \times 3 \) è un esempio di morfismo nella categoria delle matrici che mappa tra due spazi vettoriali.
Ecco un esempio pratico usando una matrice e dei vettori che ho scelto casualmente.$$ A \mathbf{v} = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \\
4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
6 \\
15 \\
\end{bmatrix}
$$
La composizione dei morfismi
Se prendo come esempio una matrice \( A \) di dimensioni \( 2 \times 3 \) e una matrice \( B \) di dimensioni \( 3 \times 2 \).
La composizione di queste matrici \( A \circ B \) restituisce come risultato una matrice \( 2 \times 2 \).
Nella teoria delle categorie, questo vuol dire che sto componendo due morfismi: uno che va da \( V \) a \( W \) e l'altro che va da \( W \) a \( V \).
Esempio. Ecco un esempio pratico di composizione di due matrici \( A \) e \( B \). La matrice A di dimensioni \( 2 \times 3 \), che funge da morfismo da uno spazio vettoriale tridimensionale \( V = R^3 \) a uno bidimensionale \( W = R^2 \).
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix} $$
La matrice B di dimensioni \( 3 \times 2 \), che funge da morfismo dallo spazio vettoriale bidimensionale \( W \) al tridimensionale \( V \).
$$
B = \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix} $$
La composizione \( A \circ B \) implica la moltiplicazione di \( A \) per \( B \). Il risultato è una matrice \( 2 \times 2 \) che mappa lo spazio bidimensionale \( V \) in se stesso attraverso lo spazio tridimensionale \( W \). Calcolo il prodotto:
$$
A \circ B = AB = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix} $$
$$
AB = \begin{bmatrix}
(1 \times 3 + 0 \times 0 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times -1 + 2 \times 0) \\
(-1 \times 3 + 3 \times 0 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times -1 + 1 \times 0) \\
\end{bmatrix} $$
$$
AB = \begin{bmatrix}
5 & 1 \\
-2 & -4 \\
\end{bmatrix} $$
In teoria delle categorie, questa operazione rappresenta la composizione di due morfismi:
- Il morfismo \( B \) mappa \( W \rightarrow V \)
- Il morfismo \( A \) mappa \( V \rightarrow W \)
La matrice risultante \( AB \) mappa direttamente \( V \) in se stesso, passando per \( W \) come spazio intermedio. Questa operazione mostra come la composizione di morfismi non solo trasferisce i vettori attraverso spazi, ma anche come si possano collegare diverse trasformazioni.
Questa composizione e la struttura risultante rispettano le proprietà richieste per i morfismi nella teoria delle categorie:
- Identità
Per ogni matrice esiste una matrice identità che, quando composta con qualsiasi altra matrice \( A \), restituisce \( A \). - Associatività
La composizione di matrici è associativa, ovvero \( (A \circ B) \circ C = A \circ (B \circ C) \).
In questo modo utilizzando i morfismi posso descrivere non solo trasformazioni dirette tra elementi di insiemi, ma anche trasformazioni più complesse che rispettano strutture algebriche o geometriche.
Nota. Una matrice \( 2 \times 3 \) non stabilisce una relazione diretta tra singoli numeri in \( \mathbb{R}^3 \) e \( \mathbb{R}^2 \), ma descrive come ogni vettore in \( \mathbb{R}^3 \) viene trasformato in un vettore in \( \mathbb{R}^2 \). Per questa ragione non è chiamata "funzione" e si preferisce usare il termine "morfismo" ovvero trasformazione della forma.
Questo dimostra come i morfismi in teoria delle categorie possono rappresentare delle trasformazioni strutturate e astratte tra oggetti matematici.
E così via.
