Categoria monoide

Una categoria monoide è una categoria con un solo oggetto in cui i morfismi formano un monoide rispetto alla composizione.

In altre parole, ogni monoide può essere rappresentato come una categoria con un unico oggetto, in cui ogni elemento del monoide corrisponde a un morfismo.

Le principali caratteristiche di una categoria monoide sono le seguenti:

• Oggetti: La categoria contiene un solo oggetto, denotato spesso con un simbolo generico come \(\ast\), che funge da punto di riferimento per la definizione dei morfismi.

  Nota. L'oggetto "unico" potrebbe essere qualsiasi cosa. Ad esempio, un punto, una mela, una matita, ecc. In genere non si specifica perché si considera un'entità astratta. Tuttavia, per capire meglio cos'è una categoria monoide, posso immaginare inizialmente l'oggetto unico come una singola mela.

• Morfismi: Ogni elemento del monoide è rappresentato come un morfismo da \(\ast\) a \(\ast\) nella categoria. In altre parole, c'è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi del monoide e i morfismi della categoria.
• Composizione di morfismi: La composizione dei morfismi segue l'operazione binaria del monoide. Se \( f \) e \( g \) sono due morfismi corrispondenti agli elementi \( m \) e \( n \) del monoide, allora la composizione \( f \circ g \) corrisponde al prodotto \( m \cdot n \), dove "\(\cdot\)" è l'operazione del monoide.

  Nota. Poiché un monoide è un semigruppo dotato di elemento neutro, la composizione è associativa per definizione, ovvero \((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\) per tutti i morfismi \( f, g, h \).

• Identità: Esiste un morfismo identità nella categoria, che corrisponde all'elemento neutro del monoide. Se \( e \) è l'elemento neutro del monoide, allora il morfismo identità \( \text{id}_{\ast} \) corrisponde a \( e \), e per ogni morfismo \( f \) vale che \( \text{id}_{\ast} \circ f = f \circ \text{id}_{\ast} = f \).

  Nota. Un monoide è un semigruppo con elemento identità. Quindi, per definizione, esiste un elemento neutro che svolge il ruolo dell'identità. Ad esempio, lo zero nel monoide \((\mathbb{N}_0,+)\) dei numeri naturali con lo zero e l'operazione di addizione.

La struttura categorica di una categoria monoide rispecchia quella del monoide come struttura algebrica.

Ogni proprietà del monoide, come l'associatività e l'esistenza dell'elemento neutro, si traduce direttamente in una proprietà corrispondente della composizione dei morfismi e del morfismo identità nella categoria.

Nota. Le categorie monoide sono utili in vari contesti matematici e informatici, inclusa la semantica dei linguaggi di programmazione, dove possono rappresentare strutture con operazioni associative e con elemento neutro.

Un esempio pratico

Considero il monoide composto dai numeri naturali con lo zero \( \mathbb{N}_0 \) e l'addizione \(+\).

$$ (\mathbb{N}_0, + ) $$

Questo monoide definisce una categoria con un unico oggetto, che rappresento con il simbolo \(\ast\).

Non è importante definire concretamente l'oggetto, perché l'oggetto è un'entità astratta e può essere qualsiasi cosa.

Nota. Per capire meglio l'esempio, immagino l'oggetto come una mela. È utile per rendere l'idea.

Nella categoria i morfismi sono i numeri naturali \(0, 1, 2, \dots\), dove ogni numero rappresenta il morfismo dell'operazione di "aggiungere" quel numero in un ipotetico contenitore.

Ad esempio, il numero 0 equivale all'operazione "aggiungi zero oggetti" (zero mele). Il numero 1 equivale a dire "aggiungi un oggetto" nel contenitore (una mela). Il numero 2 equivale ad aggiungere l'oggetto due volte nel contenitore (due mele), ecc.

La composizione di due morfismi \(a\) e \(b\) è la somma \(a + b\).

È un'operazione chiusa su \( \mathbb{N}_0 \), perché il risultato è ancora un elemento dell'insieme dei numeri naturali con lo zero.

Ad esempio, se considero due morfismi \(a=2\) e \(b=5\), la loro composizione è \(a+b=2+5=7\), che equivale a un altro morfismo della categoria.

L'identità è rappresentata dal numero zero \(0\).

Ad esempio, la composizione tra il morfismo \(a=2\) e il morfismo \(e=0\) restituisce lo stesso morfismo \(a=2\), perché \(e=0\) è l'elemento identità. Infatti \(a+e=e+a=a\), ovvero \(2+0=0+2=2\).

Questa categoria monoide è un esempio concreto di come la struttura di un monoide possa essere rappresentata in termini di teoria delle categorie. Mostra chiaramente la connessione tra le strutture algebriche e le strutture categoriali.

La differenza tra categoria monoide e gruppoide

Una categoria monoide e un gruppoide non descrivono la stessa proprietà categoriale.

• Una categoria monoide è una categoria con un solo oggetto in cui i morfismi formano un monoide rispetto alla composizione.
• Un gruppoide è una categoria in cui ogni morfismo è un isomorfismo, cioè ogni morfismo è invertibile.

Quindi, una categoria monoide mette in evidenza la struttura algebrica data dalla composizione dei morfismi, mentre un gruppoide mette in evidenza la reversibilità dei morfismi.

Nota. Le due nozioni non sono incompatibili. Se il monoide di partenza è un gruppo, allora la categoria con un solo oggetto associata a quel gruppo è anche un gruppoide, perché tutti i morfismi sono invertibili.

La differenza tra categoria monoide e categoria monoidale

Spesso ci si confonde tra i due termini, ma una categoria monoide e una categoria monoidale non sono la stessa cosa.

Quando un monoide definisce una categoria con un singolo oggetto, la categoria risultante può essere descritta come una categoria monoide.

Questo perché la struttura della categoria corrisponde esattamente alla struttura algebrica del monoide:

• ogni elemento del monoide è un morfismo
• la composizione dei morfismi segue l'operazione del monoide
• l'elemento neutro del monoide svolge il ruolo di morfismo identità dell'unico oggetto della categoria

Il termine categoria monoidale, invece, indica una struttura diversa e più generale nella teoria delle categorie.

Una categoria monoidale è una categoria dotata di un prodotto tensoriale, cioè di un'operazione binaria su oggetti e morfismi, e di un oggetto unità. Questa struttura soddisfa proprietà di associatività e identità, generalmente espresse attraverso isomorfismi naturali e condizioni di coerenza.

Riassumendo:

• La categoria monoide è una categoria con un solo oggetto i cui morfismi formano un monoide rispetto alla composizione. Ogni monoide può essere rappresentato in questo modo.
• La categoria monoidale è una categoria dotata di un prodotto tensoriale e di un oggetto unità. Serve a descrivere situazioni in cui gli oggetti e i morfismi possono essere combinati tra loro in modo compatibile con l'associatività e l'identità.

Quindi, la categoria monoide rappresenta un monoide come categoria con un solo oggetto. La categoria monoidale, invece, è una categoria arricchita da una struttura tensoriale. I due concetti sono collegati, ma non coincidono.