Categoria monoidale

Una categoria monoidale è una struttura categorica che rappresenta un monoide nella teoria delle categorie. Quindi, ha un'operazione binaria che è associativa e un elemento neutro.

In altre parole un monoide definisce una categoria con un unico oggetto e ogni elemento del monoide è un morfismo.

Le principali caratteristiche di una categoria monoide sono le seguenti:

• Oggetti: La categoria contiene un singolo e unico oggetto, denotato spesso con un simbolo generico come \(\ast\), che funge da punto di riferimento per la definizione di morfismi.

  Nota. L'oggetto "unico" potrebbe essere qualsiasi cosa. Ad esempio, un punto, una mela, una matita, ecc.  In genere non si indica perché si considera un entità astratta. Tuttavia, per capire meglio cos'è una categoria monoide posso immaginare inizialmente l'oggetto unico come una singola mela.

• Morfismi: Ogni elemento del monoide è rappresentato come un morfismo da \(\ast\) a \(\ast\) nella categoria. In altre parole, c'è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi del monoide e i morfismi della categoria.
• Composizione di morfismi: La composizione dei morfismi segue l'operazione binaria del monoide. Se \( f \) e \( g \) sono due morfismi corrispondenti agli elementi \( m \) e \( n \) del monoide, rispettivamente, allora la composizione \( f \circ g \) corrisponde all'elemento \( m \cdot n \) del monoide, dove "·" è l'operazione del monoide.

  Nota. Essendo il monoide un semigruppo come struttura algebrica, la composizione è associativa per definizione, ovvero \((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\) per tutti i morfismi \( f, g, h \).

• Identità: Esiste un morfismo identità nella categoria, che corrisponde all'elemento neutro del monoide. Se \( e \) è l'elemento neutro del monoide, allora il morfismo identità \( \text{id}_{\ast} \) corrisponde a \( e \), e per ogni morfismo \( f \) vale che \( \text{id}_{\ast} \circ f = f \circ \text{id}_{\ast} = f \).

  Nota. Un monoide è un semigruppo con l'elemento identità. Quindi, per definizione esiste un elemento neutro che garantisce l'identità. Ad esempio, lo zero nel semigruppo (N,+) dei numeri naturali con l'operazione di addizione.

La struttura categorica di una categoria monoide rispecchia perfettamente quella del monoide come struttura algebrica.

Ogni proprietà del monoide, come l'associatività e l'elemento neutro, si traduce direttamente in proprietà corrispondenti della composizione dei morfismi e dell'identità nella categoria.

Nota. Le categorie monoide sono utili in vari contesti matematici e informatici, inclusa la semantica dei linguaggi di programmazione, dove possono rappresentare tipi con operazioni associative e neutre.

Un esempio pratico

Considero il monoide composto dai numeri naturali con lo zero $ N_0 $ e l'addizione +.

$$ (\mathbb{N}_0, + ) $$

Questo monoide definisce una categoria con un unico oggetto che rappresento con il simbolo \(\ast\).

Non è importante definire l'oggetto perché l'oggetto è un'entità astratta e può essere qualsiasi cosa.

Nota. Per capire meglio l'esempio immagino l'oggetto come una mela. E' utile per rendere l'idea.

Nella categoria i morfismi sono i numeri naturali \(0, 1, 2, \dots\), dove ogni numero rappresenta il morfismo dell'operazione di "aggiungere" quel numero in un ipotetico contenitore.

Ad esempio, il numero 0 equivale all'operazione "aggiungi zero oggetti" (zero mele). Il numero 1 equivale a dire "aggiungi un oggetto" nel contenitore (una mela). Il numero 2 equivale ad aggiungere l'oggetto due volte nel contenitore (due mele), ecc.

La composizione di due morfismi \(a\) e \(b\) è la somma \(a + b\).

E' un'operazione chiusa su $ N_0 $ perché il risultato è un altro elemento dell'insieme dei numeri naturali.

Ad esempio, se considero due morfismi a=2 (due mele) e b=5 (cinque mele), la composizione a+b=5+2=7 equivale a un altro morfismo (sette mele) della categoria.

L'identità è rappresentata dal numero zero \(0\).

Ad esempio, la composizione tra il morfismo a=2 e il morfismo e=0, il risultato è lo stesso morfismo a=2 perché e=0 è l'elemento identità a+e=e+a=a ovvero 2+0=0+2=2.

Questa categoria monoide è un esempio concreto di come la struttura di un monoide sia rappresentata in termini di teoria delle categorie e illustra chiaramente la connessione tra le strutture algebriche e le strutture categoriali.

La differenza tra una categoria monoidale e una categoria gruppoide

La categoria monoidale e la categoria gruppoide non sono direttamente comparabili in quel modo. Ogni categoria ha delle caratteristiche che servono a scopi diversi.

• La categoria gruppoide si concentra sull'idea che ogni morfismo è un isomorfismo, quindi ogni trasformazione può essere invertita. È più una questione di simmetria e flessibilità nelle relazioni tra gli oggetti.
• La categoria monoidale introduce un'operazione binaria tra gli oggetti che è associativa e ha un elemento unità. La presenza di isomorfismi non è garantita come nel caso di un gruppoide. In una categoria monoidale, alcuni morfismi potrebbero essere isomorfismi, ma altri potrebbero non esserlo. Una categoria monoidale si concentra più sulla struttura data dall'operazione binaria tra gli oggetti e dalla presenza di un oggetto unità,

Quindi, mentre un gruppoide enfatizza la reversibilità delle relazioni, una categoria monoidale riguarda la struttura algebrica aggiuntiva che permette agli oggetti di essere combinati in modi che rispettano l'associatività e l'identità. Sono due concetti distinti.

La differenza tra categoria monoide e categoria monoidale

Spesso ci si confonde tra i due termini ma non sono la stessa cosa.

Quando un monoide definisce una categoria con un singolo oggetto, la categoria risultante è spesso descritta semplicemente come una categoria monoide.

Questo perché la struttura della categoria corrisponde esattamente alla struttura algebrica del monoide:

• ogni elemento del monoide è un morfismo
• la composizione dei morfismi segue l'operazione del monoide
• l'elemento neutro del monoide serve come morfismo identità per l'unico oggetto della categoria

Nota. Quando un monoide definisce una categoria con un singolo oggetto, la categoria risultante è spesso descritta semplicemente come una categoria monoide ma non è detto che una categoria con un singolo oggetto sia un monoide. Credo sia opportuno specificarlo.

Il termine categoria monoidale, d'altra parte, si riferisce a qualcosa di specifico e più complesso nella teoria delle categorie. E' una categoria dotata di un prodotto tensoriale e di un oggetto unità che soddisfa certe proprietà di associatività e identità, espresse attraverso isomorfismi naturali.

Riassumendo:

• La categoria monoide è una categoria che ha un singolo oggetto e dove i morfismi formano un monoide sotto la composizione. Ogni monoide può essere rappresentato come tale categoria.
• La categoria monoidale è una categoria dotata di un prodotto tensoriale, ovvero di un'operazione binaria su oggetti e morfismi che è coerenza, associativa a meno di isomorfismo, e ha un oggetto identità. Questo concetto è utilizzato per incapsulare idee come la moltiplicazione o altre operazioni binarie in un contesto categoriale, generalizzando molte strutture matematiche al di là dei monoidi.

Quindi, mentre ogni monoide può effettivamente definire una categoria che chiamiamo "categoria monoide", non ogni categoria derivata da un monoide è una categoria monoidale a meno che non soddisfi anche i criteri specifici per le categorie monoidali.