La categoria delle matrici su un campo finito

La categoria Matr(F) è una struttura matematica in cui gli oggetti sono i numeri interi positivi m,n∈Z⁺ e i morfismi sono le matrici di qualsiasi dimensione m×n con gli elementi tratti dal campo algebrico finito F. A volte è indicato anche con F_p per evidenziare che si tratta di un campo finito, dove p è un numero primo.

Ad esempio F₃ indica un campo finito che contiene tre elementi {0,1,2} e tutte le operazioni aritmetiche sono effettuate modulo 3. In questo caso tutte le matrici hanno gli elementi uguali a 0, 1 o 2.

Nel dettaglio questa categoria è composta come segue; 

• Oggetti
  Gli oggetti della categoria Matr(F) sono rappresentati da numeri interi positivi $ m,n \in \mathbb{Z} $, che indicano le dimensioni delle matrici costruite con gli elementi del campo \( F \). Quindi, gli oggetti non sono le matrici ma i numeri interi positivi che indicano la dimensione delle matrici.
• Morfismi
  I morfismi tra due oggetti \( m \) e \( n \) sono tutte le matrici di dimensione \( m \times n \) con elementi nel campo \( F \). Questi morfismi rappresentano trasformazioni lineari da uno spazio vettoriale di dimensione \( n \) a uno spazio vettoriale di dimensione \( m \), dove entrambi gli spazi vettoriali sono definiti sopra il campo \( F \). Se m=n il morfismo è una matrice quadrata nxn mentre se m≠n il morfismo è una matrice rettangolare mxn.
• Composizione di morfismi
  La composizione dei morfismi in Matr(F) segue le regole standard della moltiplicazione di matrici. Se \( A \) è una matrice \( m \times n \) e \( B \) è una matrice \( n \times s \), allora la matrice prodotto \( AB \) è una matrice \( m \times s \), risultante dalla moltiplicazione di \( A \) per \( B \). $$ AB = A \times B $$

  Nota. Ovviamente, non tutti i morfismi (in questo caso le matrici) possono definire una composizione perché la moltiplicazione tra due matrici M1×M2 è possibile solo se il numero di colonne della prima matrice M1(m,n) è uguale al numero di righe della seconda M1(n,s).

• Identità
  Per ogni oggetto \( n \), il morfismo identità è la matrice identità \( I_n \), una matrice quadra \( n \times n \) con 1 lungo la diagonale e 0 altrove. Questa matrice funge da elemento neutro per la composizione con altre matrici quadrate \( n \times n \). Le matrici rettangolari \( m \times n \) con m≠n, invece, non hanno un morfismo identità.

La categoria Matr(F) è utile per studiare e manipolare trasformazioni lineari in un contesto algebrico rigoroso.

Concepire le matrici come morfismi mi permette di esplorare i concetti dell'algebra lineare che richiedono la manipolazione di spazi vettoriali e trasformazioni lineari in modo diverso e più astratto.

Un esempio pratico

Considero la categoria Matr(F₃) che include oggetti, morfismi, composizione di morfismi e l'elemento identità, utilizzando il campo finito \(\mathbb{F}_3\) che contiene gli elementi {0, 1, 2}, con operazioni di addizione e moltiplicazione eseguite modulo 3).

Ad esempio, 1+1=2 perché 2 modulo 3 è uguale a 2 in quanto 2 diviso 3 è uguale zero con resto 2. Viceversa, 1+2=0 perché 3 modulo 3 è zero, in quanto 3 diviso 3 è uguale a uno con resto 0. In altre parole, nel caso dell'aritmetica modulare si indica il resto. In generale, queste sono le tabelle additive e moltiplicative delle operazioni aritmetiche modulo 3.

Questa categoria è composta dai seguenti oggetti e morfismi:

• Oggetti in Matr(\(\mathbb{F}_3\))
  Gli oggetti nella categoria Matr(\(\mathbb{F}_3\)) sono rappresentati da tutti i numeri numeri interi positivi $ m,n \in \mathbb{Z} $ che definiscono le dimensioni, ossia il numero di righe e di colonne delle matrici.
• Morfismi
  I morfismi tra oggetti della categoria sono delle matrici $ m \times n $ con gli elementi tratti dal campo F₃ ossia uguali a 0,1,2. Quindi, ogni morfismo dall'oggetto $ m $ all'oggetto ( $ n $ ) rappresenta tutte le matrici \( m \times n \). Se m≠n le matrici sono rettangolari mentre se m=n sono matrici quadrate.

  Ad esempio, il morfismo dall'oggetto 2 all'oggetto 3 rappresenta tutte le matrici \( 2 \times 3 \) come la seguente $$ A = \begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  2 & 0 & 1
  \end{bmatrix}
  $$  Il morfismo dall'oggetto 3 all'oggetto 2, invece, sono tutte le matrici \( 3 \times 2 \) come la seguente $$
  B = \begin{bmatrix}
  0 & 1 \\
  1 & 0 \\
  2 & 2
  \end{bmatrix} $$ In ogni caso le matrici sono composte da elementi tratti dal campo F₃. In altre parole, in questo esempio gli elementi delle matrici possono essere solo 0, 1, 2. Non altri numeri. Le matrici invece possono assumere qualsiasi dimensione 1x1, 2x3, 5x4, 100x100, ecc. perché sono definite da numeri interi positivi m,n∈Z⁺.

• Composizione di morfismi
  La composizione dei morfismi si basa sulla moltiplicazione di matrici.

  Ad esempio, una composizione tra una matrice 3×2 e una matrice 2×3 è la seguente: $$ BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\
  1 & 0 \\
  2 & 2
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  2 & 0 & 1
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  2 & 0 & 1 \\
  1 & 2 & 0 \\
  0 & 2 & 2
  \end{bmatrix} $$ Nella moltiplicazione riga per colonna delle due matrici, le operazioni tra gli elementi delle matrici sono calcolate nel modulo 3. Ad esempio, 2x2=4 ma 4:3 è uguale a 1 con resto 1. Quindi 2x2=1 modulo 3.

• Elemento identità
  Ogni oggetto \( n \) ha un morfismo identità che è una matrice identità \( n \times n \):
  - Per l'oggetto 1, l'identità è \( \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \).
  - Per l'oggetto 2, l'identità è \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \).

  Ad esempio, se considero una matrice A di dimensioni 2×2 e la moltiplico per la matrice identità I₂, il risultato è sempre la matrice A: $$ AI_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} $$ Lo stesso vale per qualsiasi altro oggetto $ n $ perché definisce una matrice quadrata di dimensioni $ n \times n $ a cui è associata una matrice identità $ I_n $.

In questo modo, Matr(F₃) costruisce un quadro completo per trattare le trasformazioni lineari e le operazioni algebriche in un contesto discreto.

Tra le varie applicazioni pratiche di questa categoriea c'è la crittografia.

Ad esempio, questa operazione potrebbe essere parte di un algoritmo di crittografia, di un processo di codifica di informazioni, o di un'altra applicazione di algebra lineare.

E così via.