La relazione antiriflessiva
Cosa sono le relazioni antiriflessive
Una relazione definita in un insieme I è antiriflessiva se nessun elemento dell'insieme è in relazione con se stesso. $$ \forall \ a \in I \ , \ a \require{cancel} \cancel{R} a $$
Nelle relazioni antiriflessive nessun elemento è collegato con se stesso.
Ad esempio, la relazione A è madre di B è antiriflessiva perché nessuna A è madre di se stessa.
Le relazioni antiriflessive sono un sottoinsieme delle relazioni definite in un insieme.
Un esempio pratico
Considero l'insieme finito I
$$ I = \{ 2,4,3,9,16 \} $$
La relazione R collega gli elementi dell'insieme I con la loro radice quadrata ossia "x e la radice quadrata di y"
$$ R = \{ (4;2),(16;4), (9;3) \} $$
La relazione è antiriflessiva perché nessun elemento dell'insieme I è la radice quadrata di se stesso.
Nota. Ad esempio, 2 non è la radice quadrata di se stesso. $$ 2 \ne \sqrt{2} $$ Lo stesso si può dire per tutti gli altri elementi dell'insieme I. Nella rappresentazione tramite un grafo le relazioni antiriflessive non presentano cappi, nessun nodo è collegato con se stesso.
Osservazioni
Alcune osservazioni sulle relazioni antiriflessive
- Esistono relazioni che non sono né riflessive, né antiriflessive. Quindi, se una relazione non è antiriflessiva, non è detto che sia riflessiva e viceversa.
Esempio. Considero l'insieme $$ I = \{1,2,3,4,9,16 \} $$ e la relazione R in cui "x è la radice quadrata di y". La relazione R non è riflessiva perché non tutti gli elementi sono in relazione con se stessi. Ad esempio 2 non è la radice quadrata di 2. $$ 2 \ne \sqrt{2} $$ Tuttavia, la relazione non è nemmeno antiriflessiva perché in un singolo caso è riflessiva. Ad esempio 1 è la radice quadrata di 1. $$ 1 = \sqrt{1} $$ Nel grafo di questa relazione c'è un cappio. Quindi, non può essere antiriflessiva. Non essendoci cappi in tutti i nodi non è nemmeno riflessiva.
E così via.
