La relazione asimmetrica

Cosa sono le relazioni asimmetriche

Una relazione è asimmetrica in un insieme X se per ogni elemento a in relazione con b, l'elemento b non è in relazione con a. $$ a R b \ \ \Rightarrow b \require{cancel} \cancel{R} a $$

Nelle relazioni asimmetriche non ci sono collegamenti biunivoci tra gli elementi.

Ad esempio, la relazione A è madre di B è asimmetrica perché se A è madre di B, allora B non può essere madre di A.

Le relazioni asimmetriche sono un sottoinsieme delle relazioni definite in un insieme.

Un esempio pratico

Considero l'insieme

$$ I = \{ 1,2,3,4 \} $$

La relazione R è "x è maggiore di y"

$$ R = \{ (4;3),(4;2),(4;1),(3;2),(3;1),(2;1) \} $$

E' una relazione asimmetrica perché se un elemento x è maggiore di y, allora y non è maggiore di x.

Nota. Ad esempio, l'elemento 4 è maggiore di 3. $$ 4>3 $$ Viceversa, l'elemento 3 non è maggiore di 4 $$ 3<4 $$ Quindi, la relazione è asimmetrica.

Se rappresento la relazione in un grafo tra ogni coppia di nodi non ci sono archi in entrambi i versi.

La differenza tra relazioni asimmetriche e antisimmetriche

Quando parlo di relazioni asimmetriche e antisimmetriche, mi riferisco a due concetti distinti.

• Relazione antisimmetrica
• In una relazione antisimmetrica, due elementi possono essere reciprocamente in relazione solo se sono lo stesso elemento. Ciò significa che se aRb e contemporaneamente bRa, allora a e b sono lo stesso elemento dell'insieme. Formalmente, se aRba e a è diverso da b, allora non può esistere una relazione bRa. $$ aRb \ , \ a \ne b \ \Rightarrow b \require{cancel} \cancel{R} a $$
• Relazione asimmetrica
  
• La relazione asimmetrica, invece, stabilisce che se un elemento è in relazione con un altro, l'altro elemento non può essere in relazione con il primo, senza eccezioni. Quindi, anche se a e b fossero lo stesso elemento, non potrebbero essere reciprocamente in relazione. $$ aRb \ \ \Rightarrow b \require{cancel} \cancel{R} a $$

In sintesi, mentre l'antisimmetria consente relazioni reciproche solo tra elementi identici, l'asimmetria le esclude completamente.

Osservazioni

Alcune osservazioni sulle relazioni asimmetriche

• Esistono relazioni che non sono né simmetriche, né asimmetriche. Pertanto, se una relazione non è asimmetrica, non è detto che sia simmetrica e viceversa.

  Esempio. Considero l'insieme $$ I = \{ -2,2,3,9,15 \} $$ e la relazione R "x è divisore proprio di y". $$ R = \{ (-2;2), (2;-2), (3;9), (3;15) \} $$ La relazione R non è asimmetrica nell'insieme I perché tra gli elementi 2 e -2 c'è una relazione simmetrica. D'altra parte la relazione R non è nemmeno simmetrica nell'insieme I perché tra gli elementi 3 e 9 c'è una relazione asimmetrica. Quindi, la relazione R non è né simmetrica, né asimmetrica. Nel grafo della relazione R si nota un collegamento biunivoco tra due nodi (2 e -2) ma non tra ogni coppia di nodi.
  

E così via.