Il sottogruppo algebrico

Nella matematica discreta un sottogruppo (S) è un sottoinsieme non vuoto di un gruppo algebrico (G) se:


• il sottogruppo include l'elemento neutro (n) del gruppo $$ n \in S, G $$
• il sottogruppo è chiuso alla stessa operazione del gruppo $$ *:SxS \rightarrow S $$
• ogni elemento del sottogruppo ha un elemento inverso nel sottogruppo stesso $$ s,s^{-1} \in S $$

Se S è un sottogruppo di G si scrive

$$ S < G $$

Se S è un sottogruppo di G e coincide con G stesso si scrive

$$ S \le G $$

Un esempio pratico

Esempio 1

L'insieme dei numeri interi I={1, -1} è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.

$$ (I,\cdot) $$

Il sottogruppo S composto dal solo numero uno {1} è un sottogruppo di I.

$$ (S,\cdot) $$

Si tratta di un sottogruppo di I perché

1. Il sottogruppo S include l'elemento neutro (1) del gruppo G rispetto alla moltiplicazione
2. Il sottogruppo S è chiuso rispetto alla moltiplicazione

   a+b	1
   1	1

3. Ogni elemento del sottogruppo S ha un elemento inverso in S $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ In questo caso il numero 1 è l'inverso di se stesso, essendo l'elemento neutro.

Viceversa l'insieme {-1} non è un sottogruppo di I.

Nota. L'insieme S { 1, -1 } è un gruppo rispetto al prodotto ma non è un gruppo rispetto all'addizione (+) perché non rispetta diverse proprietà. Ad esempio $$ 1+1 = 2 \notin S $$

Esempio 2

Un gruppo abeliano S è composto dagli elementi { 0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'operazione di addizione + modulo 8.

Cos'è l'addizione modulo 8? In un'addizione modulare otto, ogni risultato superiore a otto è uguale al suo resto (modulo). Ad esempio, 7+1=0, 7+2=1, 7+3=2, ecc. E' anche detta matematica dell'orologio.

La tavola di composizione del gruppo (S,+₈) è

a+b	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	0
2	2	3	4	5	6	7	0	1
3	3	4	5	6	7	0	1	2
4	4	5	6	7	0	1	2	3
5	5	6	7	0	1	2	3	4
6	6	7	0	1	2	3	4	5
7	7	0	1	2	3	4	5	6

In questo gruppo ci sono alcuni sottogruppi non banali:

• { 0, 4 }
• { 0, 2, 4, 6}

Ecco la tavola del sottogruppo { 0,4 }

a+b	0	4
0	0	4
4	4	0

Ecco la tavola del sottogruppo { 0, 2, 4, 6 }

a+b	0	2	4	6
0	0	2	4	6
2	2	4	6	0
4	4	6	0	2
6	6	0	2	4

Entrambi i sottogruppi

• sono chiusi rispetto alla stessa operazione del gruppo
• hanno lo stesso elemento neutro del gruppo al loro interno (0)
• ogni elemento ha un inverso nel sottogruppo ( es. 0+0, 2+6, 4+4, 6+2)

Nota. Come il gruppo anche i sono sottogruppi sono abeliani perché rispettano la proprietà commutativa. Da questo esempio emerge un importante proprietà dei sottogruppi, quella di ereditare le proprietà del gruppo.

Le proprietà dei sottogruppi

I sottogruppi mantengono le stesse proprietà del gruppo che li comprende.

Esempio

• Un sottogruppo di un gruppo finito è finito
• Un sottogruppo di un gruppo abeliano è abeliano
• Un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico

Sottogruppo generato da X

Dato un gruppo G e un sottoinsieme X di G, il più piccolo sottogruppo di G che contiene X è detto sottogruppo generato da X e si indica con <X>.

Il sottoinsieme X potrebbe anche essere un elemento del gruppo.

Se il sottoinsieme X è anche un sottogruppo, allora <X> è X stesso.

Esempio 1

Nel gruppo (S,+) composto dagli elementi { 0,1,2,3,4,5,6,7} prendo come riferimento il sottoinsieme X con gli elementi { 0,2 }

$$ X = \{ 0 , 2 \} $$

Il sottogruppo generato da X è

$$ <X> = { 0,2,4 } $$

In questo caso <X> è un insieme finito.

Non è sempre così.

Esempio 2

In questo esempio ho un gruppo non abeliano, quindi non vale la proprietà commutativa.

Il sottoinsieme X è composto dalle lettere a e b.

$$ X = \{ a , b \} $$

Il sottogruppo generato da X è composto dalle infinite combinazioni dei due elementi e dei rispettivi inversi

$$ <X> = \{ a, b, a^{-1}, b^{-1}, ab , ba, abba, abbaa^{-1} , b^{-1}aaa, ... \} $$

che semplificando le potenze e gli inversi delle lettere adiacenti.

$$ <X> = \{ a, b, a^{-1}, b^{-1}, ab , ba, ab^2a, ab^2 , b^{-1}a^3, ... \} $$

In questo caso <X> è un insieme infinito di elementi.

Se X è un sottoinsieme {x₁,x₂,...,x_n} del gruppo G, il sottogruppo <X> generato da X è composto da $$ <X> = \{ t_1 \cdot t_2 , ... , t_k , t_i^{-1} \}$$ dove t₁,...,t_n sono elementi di X e t^-1 sono gli inversi.

Esempio

Nel gruppo (S,+) composto dagli elementi { 0,1,2,3,4,5,6,7} con l'operazione di addizione modulo 8, prendo come riferimento il sottoinsieme X con gli elementi { 0,2,4,6 }

$$ X = \{ 0 , 2, 4, 6 \} $$

Il sottoinsieme generato da X è

$$ <X> = \{ t_1 +t_2b + ... + t_n \} $$

$$ <X> = \{ \{ 0,2,4,6 \} + \{ 0,2,4,6 \} + ... + \{ 0,2,4,6 \} \} $$

$$ <X> = \{ 0, 2, 4, 6 \} $$

L'insieme <X> include sia gli elementi di X che gli elementi inversi.

La cardinalità del sottogruppo <x> è uguale all'ordine dell'elemento x.

Esempio

Il sottogruppo <2> generato da 2 è uguale a $$ <2>=\{ 2, 4, 6, 0 \} $$ Il sottogruppo <2> ha 4 elementi.

Nel gruppo la classe 2 ha un ordine pari a 4.

$$ 2^4=2+2+2+2=0 $$

Quindi, la cardinalità del sottogruppo generato da 2 eguaglia l'ordine dell'elemento 2 nel gruppo, ossia 4.

Sottogruppo ciclico

Se il sottoinsieme X è composto da un solo elemento x, allora il sottogruppo ciclico generato da X è $$ <X> = \{ x^i \} $$

Dove i è un numero intero e indica la potenza, ossia l'operazione binaria tra l'elemento per se stesso o per il suo inverso.

Esempio 1

Ho un gruppo composto dall'insieme Z dei numeri interi e l'operazione della moltiplicazione (*).

$$ (Z,*) $$

Il sottoinsieme X è composto dal numero 5.

$$ X = ( 5 ) $$

Quindi, il sottogruppo ciclico che contiene X è

$$ <X> = ( 5^i ) = ( ..., 5, 25, 125, ... ) $$

Per i=1 il sottogruppo <X> coincide con X.

Esempio 2

Ho un gruppo composto dall'insieme Z dei numeri interi e l'operazione dell'addizione (+).

$$ (Z,+) $$

Il sottoinsieme X è composto dal numero 5.

$$ X = ( 5 ) $$

Quindi, il sottogruppo ciclico che contiene X è

$$ <X> = ( 5^i ) = ( ..., 5, 5+5, 5+5+5, ... ) = ( ..., 5, 10, 15, ... ) $$

Per i=1 il sottogruppo <X> coincide con X.