Il sottogruppo algebrico
- Nella matematica discreta un sottogruppo (S) è un sottoinsieme non vuoto di un gruppo algebrico (G) se:
- il sottogruppo include l'elemento neutro (n) del gruppo $$ n \in S, G $$
- il sottogruppo è chiuso alla stessa operazione del gruppo $$ *:SxS \rightarrow S $$
- ogni elemento del sottogruppo ha un elemento inverso nel sottogruppo stesso $$ s,s^{-1} \in S $$
Se S è un sottogruppo di G si scrive
$$ S < G $$
Se S è un sottogruppo di G e coincide con G stesso si scrive
$$ S \le G $$
Un esempio pratico
Esempio 1
L'insieme dei numeri interi I={1, -1} è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.
$$ (I,\cdot) $$
Il sottogruppo S composto dal solo numero uno {1} è un sottogruppo di I.
$$ (S,\cdot) $$
Si tratta di un sottogruppo di I perché
- Il sottogruppo S include l'elemento neutro (1) del gruppo G rispetto alla moltiplicazione
- Il sottogruppo S è chiuso rispetto alla moltiplicazione
a+b 1 1 1 - Ogni elemento del sottogruppo S ha un elemento inverso in S $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ In questo caso il numero 1 è l'inverso di se stesso, essendo l'elemento neutro.
Viceversa l'insieme {-1} non è un sottogruppo di I.
Nota. L'insieme S { 1, -1 } è un gruppo rispetto al prodotto ma non è un gruppo rispetto all'addizione (+) perché non rispetta diverse proprietà. Ad esempio $$ 1+1 = 2 \notin S $$
Esempio 2
Un gruppo abeliano S è composto dagli elementi { 0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'operazione di addizione + modulo 8.
Cos'è l'addizione modulo 8? In un'addizione modulare otto, ogni risultato superiore a otto è uguale al suo resto (modulo). Ad esempio, 7+1=0, 7+2=1, 7+3=2, ecc. E' anche detta matematica dell'orologio.
La tavola di composizione del gruppo (S,+8) è
a+b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 |
5 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
6 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
7 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
In questo gruppo ci sono alcuni sottogruppi non banali:
- { 0, 4 }
- { 0, 2, 4, 6}
Ecco la tavola del sottogruppo { 0,4 }
a+b | 0 | 4 |
---|---|---|
0 | 0 | 4 |
4 | 4 | 0 |
Ecco la tavola del sottogruppo { 0, 2, 4, 6 }
a+b | 0 | 2 | 4 | 6 |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 |
Entrambi i sottogruppi
- sono chiusi rispetto alla stessa operazione del gruppo
- hanno lo stesso elemento neutro del gruppo al loro interno (0)
- ogni elemento ha un inverso nel sottogruppo ( es. 0+0, 2+6, 4+4, 6+2)
Nota. Come il gruppo anche i sono sottogruppi sono abeliani perché rispettano la proprietà commutativa. Da questo esempio emerge un importante proprietà dei sottogruppi, quella di ereditare le proprietà del gruppo.
Le proprietà dei sottogruppi
I sottogruppi mantengono le stesse proprietà del gruppo che li comprende.
Esempio
- Un sottogruppo di un gruppo finito è finito
- Un sottogruppo di un gruppo abeliano è abeliano
- Un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico
Sottogruppo generato da X
Dato un gruppo G e un sottoinsieme X di G, il più piccolo sottogruppo di G che contiene X è detto sottogruppo generato da X e si indica con <X>.
Il sottoinsieme X potrebbe anche essere un elemento del gruppo.
Se il sottoinsieme X è anche un sottogruppo, allora <X> è X stesso.
Esempio 1
Nel gruppo (S,+) composto dagli elementi { 0,1,2,3,4,5,6,7} prendo come riferimento il sottoinsieme X con gli elementi { 0,2 }
$$ X = \{ 0 , 2 \} $$
Il sottogruppo generato da X è
$$ <X> = { 0,2,4 } $$
In questo caso <X> è un insieme finito.
Non è sempre così.
Esempio 2
In questo esempio ho un gruppo non abeliano, quindi non vale la proprietà commutativa.
Il sottoinsieme X è composto dalle lettere a e b.
$$ X = \{ a , b \} $$
Il sottogruppo generato da X è composto dalle infinite combinazioni dei due elementi e dei rispettivi inversi
$$ <X> = \{ a, b, a^{-1}, b^{-1}, ab , ba, abba, abbaa^{-1} , b^{-1}aaa, ... \} $$
che semplificando le potenze e gli inversi delle lettere adiacenti.
$$ <X> = \{ a, b, a^{-1}, b^{-1}, ab , ba, ab^2a, ab^2 , b^{-1}a^3, ... \} $$
In questo caso <X> è un insieme infinito di elementi.
Se X è un sottoinsieme {x1,x2,...,xn} del gruppo G, il sottogruppo <X> generato da X è composto da $$ <X> = \{ t_1 \cdot t_2 , ... , t_k , t_i^{-1} \}$$ dove t1,...,tn sono elementi di X e t-1 sono gli inversi.
Esempio
Nel gruppo (S,+) composto dagli elementi { 0,1,2,3,4,5,6,7} con l'operazione di addizione modulo 8, prendo come riferimento il sottoinsieme X con gli elementi { 0,2,4,6 }
$$ X = \{ 0 , 2, 4, 6 \} $$
Il sottoinsieme generato da X è
$$ <X> = \{ t_1 +t_2b + ... + t_n \} $$
$$ <X> = \{ \{ 0,2,4,6 \} + \{ 0,2,4,6 \} + ... + \{ 0,2,4,6 \} \} $$
$$ <X> = \{ 0, 2, 4, 6 \} $$
L'insieme <X> include sia gli elementi di X che gli elementi inversi.
La cardinalità del sottogruppo <x> è uguale all'ordine dell'elemento x.
Esempio
Il sottogruppo <2> generato da 2 è uguale a $$ <2>=\{ 2, 4, 6, 0 \} $$ Il sottogruppo <2> ha 4 elementi.
Nel gruppo la classe 2 ha un ordine pari a 4.
$$ 2^4=2+2+2+2=0 $$
Quindi, la cardinalità del sottogruppo generato da 2 eguaglia l'ordine dell'elemento 2 nel gruppo, ossia 4.
Sottogruppo ciclico
Se il sottoinsieme X è composto da un solo elemento x, allora il sottogruppo ciclico generato da X è $$ <X> = \{ x^i \} $$
Dove i è un numero intero e indica la potenza, ossia l'operazione binaria tra l'elemento per se stesso o per il suo inverso.
Esempio 1
Ho un gruppo composto dall'insieme Z dei numeri interi e l'operazione della moltiplicazione (*).
$$ (Z,*) $$
Il sottoinsieme X è composto dal numero 5.
$$ X = ( 5 ) $$
Quindi, il sottogruppo ciclico che contiene X è
$$ <X> = ( 5^i ) = ( ..., 5, 25, 125, ... ) $$
Per i=1 il sottogruppo <X> coincide con X.
Esempio 2
Ho un gruppo composto dall'insieme Z dei numeri interi e l'operazione dell'addizione (+).
$$ (Z,+) $$
Il sottoinsieme X è composto dal numero 5.
$$ X = ( 5 ) $$
Quindi, il sottogruppo ciclico che contiene X è
$$ <X> = ( 5^i ) = ( ..., 5, 5+5, 5+5+5, ... ) = ( ..., 5, 10, 15, ... ) $$
Per i=1 il sottogruppo <X> coincide con X.