Chiusura dell'insieme dei numeri naturali rispetto all'addizione e alla moltiplicazione

L'insieme dei numeri naturali $ \mathbb{N} $ è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione.

In altre parole, questo significa che, applicando queste operazioni a due elementi di $ \mathbb{N} $, ottengo sempre un risultato che appartiene ancora all'insieme $ \mathbb{N} $, ossia un numero naturale.

In questi casi, si dice anche che l'addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all'insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali.

Chiusura rispetto all'addizione

L'addizione è un'operazione interna all'insieme $ \mathbb{N} $ perché per ogni coppia di numeri naturali $ a $ e $ b $, il loro risultato $ a + b $ appartiene ancora all'insieme $ \mathbb{N} $.

$$ \forall a, b \in \mathbb{N}, \quad a + b \in \mathbb{N} $$

Questo significa che sommando due numeri naturali, il risultato sarà sempre un numero naturale, senza uscire dall'insieme $ \mathbb{N} $.

Esempio. Se sommo $ 3 + 5 = 8 $, il risultato $ 8 $ è ancora un numero naturale. Questo conferma la chiusura rispetto all'addizione.

Chiusura rispetto alla moltiplicazione

Analogamente, la moltiplicazione è un'operazione interna all'insieme $ \mathbb{N} $ perché per ogni coppia di numeri naturali $ a $ e $ b $, il loro prodotto $ a \cdot b $ appartiene ancora all'insieme $ \mathbb{N} $.

$$ \forall a, b \in \mathbb{N}, \quad a \cdot b \in \mathbb{N} $$

Anche in questo caso, moltiplicando due numeri naturali, il risultato sarà sempre un numero naturale.

Esempio. Se moltiplico $ 3 \cdot 5 = 15 $, anche il risultato $ 15 $ appartiene all'insieme dei numeri naturali. Questo conferma la chiusura rispetto alla moltiplicazione.

Bisogna però fare attenzione, sebbene l'insieme dei numeri naturali sia chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, non lo è rispetto alle loro operazioni inverse.

L'insieme dei numeri naturali non è chiuso rispetto alla sottrazione o alla divisione.

Esempio. La differenza $ 5 - 8 $ non è un numero naturale. In questo caso, per poter parlare di chiusura è necessario estendere l'insieme $ \mathbb{N} $ ai numeri interi $ \mathbb{Z} $ che include anche i numeri interi negativi.

La proprietà di chiusura dei numeri naturali rispetto all'addizione e alla moltiplicazione è utile in particolari circostanze:

Definizione di struttura algebrica: La chiusura rispetto a una o più operazioni è una delle condizioni necessarie per definire una struttura algebrica come un gruppo, anello o campo. Nel caso dei numeri naturali, anche se non formano un gruppo perché non c'è l'inverso rispetto all'addizione, la chiusura dell'addizione e della moltiplicazione mi permette di costruire strutture algebriche come i monoidi ossia strutture con un'operazione associativa e un elemento neutro.
Utilizzo in dimostrazioni matematiche: La chiusura è spesso utilizzata nelle dimostrazioni per giustificare che una certa operazione eseguita su elementi di un insieme rimane all'interno dello stesso insieme. Ad esempio, nelle dimostrazioni di tipo induttivo, si utilizza il fatto che l'addizione di numeri naturali produce ancora numeri naturali.

E così via.