Il calcolo approssimato

Qualsiasi numero decimale (n) può essere approssimato tramite l'arrotondamento per difetto e per eccesso.


• Si parla di approssimazione per difetto quando il valore approssimato (a) è minore al valore decimale reale (n) $$ a<n $$
• Si parla di approssimazione per eccesso quando il valore approssimato (a) è maggiore al valore decimale reale (n) $$ a >n $$

Come funziona l'arrotondamento

• Se la prima cifra trascurata del numero è uguale o maggiore a 5, si aumenta di uno l'ultima cifra del numero
• Se la prima cifra trascurata del numero è minore di 5, si lascia invariata l'ultima cifra del numero.

Perché approssimare i numeri? L'approssimazione è utile per semplificare i calcoli, rendere i numeri più leggibili e rappresentare meglio le informazioni. E' molto più semplice svolgere dei calcoli con il valore approssimato 87,4 piuttosto che con il valore reale 87,421 Tuttavia, l'approssimazione ha un rovescio della medaglia perché genera un errore che si propaga in avanti rendendo meno preciso il risultato finale.

Un esempio pratico

Ad esempio, considero il numero decimale 87,427

$$ n = 87,427 $$

Voglio approssimarlo per arrotondamento alla 10^-1 (una cifra decimale)

In questo caso la prima trascurata del numero è 2 mentre l'ultima cifra del numero approssimato è 4

$$ n = 87,4 \color{red}21 $$

Essendo 2<5 posso troncare il numero lasciando l'ultima cifra invariata (4).

$$ a=87,4 $$

Esempio 2

Considero di nuovo il numero precedente

$$ n = 87,427 $$

Ora lo voglio approssimare a meno di 10^-2 (due cifre decimali)

In questo caso la prima cifra trascurata è 7 mentre l'ultima cifra del numero approssimato è 2

$$ n = 87,42 \color{red}7 $$

Essendo 7≥5 devo aumentare di uno l'ultima cifra (2) del numero approssimato dopo il troncamento.

Pertanto, l'ultima cifra del numero approssimato diventa 3

$$ n = 87,43 $$

L'errore assoluto e relativo

L'approssimazione del numero genera un errore che può essere misurato in due modi

• Errore assoluto
  L'errore assoluto (e) è il valore assoluto della differenza tra il numero (n) e il suo valore approssimato (a) $$ e = |n-a| $$

  Esempio. Nel caso dell'esempio precedente l'errore assoluto è uguale a $$ e = |87,427 - 87,4| = 0,027 $$

• Errore relativo
  L'errore relativo (e) è il rapporto tra l'errore assoluto (e) e il valore assoluto del numero approssimato (a) $$ e_r = \frac{|n-a|}{|a|} = \frac{e}{|a|}$$

Esempio. Nel caso dell'esempio precedente l'errore relativo è uguale a $$ e_r = \frac{0,027}{ | 87,4 | } = 0,00308924485 $$ In percentuale l'errore relativo è di circa lo 0,3%.

Quale misura scegliere?

L'errore assoluto non fornisce una misura omogenea dell'errore perché varia con la grandezza dei numeri.

In genere, per avere una stima dell'errore più precisa si ricorre al calcolo dell'errore relativo.

Esempio. Due valori approssimati 802 ≈ 800 e 82 ≈ 80 hanno lo stesso valore assoluto e=2. Tuttavia, il valore approssimato 800 è molto più preciso di 80 perché lo stesso assoluto (2) pesa in modo diverso sulle centinaia 800±2 piuttosto che sulle decine 80±2.

La propagazione degli errori

I valori approssimati generano un errore nel calcolo che aumenta per ogni operazione successiva.

Quante più operazioni si compiono dopo l'approssimazione, tanto maggiore è l'errore nel calcolo.

La propagazione dell'errore avviene in modo diverso a seconda del tipo di operazione.

• Nella somma e nella differenza l'errore assoluto massimo è uguale alla somma degli errori assoluti dei due termini. $$ e = e_1 + e_2 $$
• Nel prodotto e nella divisione l'errore relativo massimo è uguale alla somma degli errori relativi dei due termini. $$ e_r = e_{r1} + e_{r2} $$

Esempio

Ho due numeri

$$ n_1 = 12331 $$

$$ n_2 = 8168 $$

Approssimo i due numeri con un arrotondamento a meno di 10^2

$$ a_1 = 12300 $$

$$ a_2 = 8200 $$

I rispettivi errori assoluti sono

$$ e_1 = |12331 - 12300| = 31 $$

$$ e_2 = |8168 - 8200| = |-32| = 32 $$

Nota. I rispettivi errori relativi sono $$ e_{r1} = \frac{31}{|12300|} = 0,0025203252 ≈ 0,25 \% $$ $$ e_{r2} = \frac{32}{|8200|} = 0,00390243902 ≈ 0,39 \% $$

A questo punto sommo i due numeri approssimati

$$ s = a_1 + a_2 $$

$$ s = 12300 + 8200 = 20500 $$

L'errore assoluto di questa somma approssimata è uguale alla somma degli errori assoluti degli addendi

$$ e_s = e_1 + e_2 $$

$$ e_s = 31 + 32 = 63 $$

Nota. L'errore assoluto causato dall'approssimazione è aumentato dopo l'operazione di somma e continua ad aumentare dopo ogni ulteriore operazione. L'errore relativo della somma è invece di circa il 3,1% $$ e_r = \frac{63}{|20500|} = 0.00312195121 ≈ 3,1% $$

Pertanto, il valore esatto della somma (s_r) è compreso tra

$$ s - e_s < s_r < s + e_s $$

$$ 20500 - 63 < s_r < 20500 + 63 $$

$$ 20487 < s_r < 20563 $$

Ne consegue che solo le prime due cifre della somma (2 e 0) sono certe perché sono uguali in entrambe le approssimazioni per eccesso e per difetto.

Verifica. La somma reale dei valori non approssimati è $$ s_r = n_1 + n_2 $$ $$ s_r = 12331 + 8168 = 20499 $$