Teorema dei quadrilateri circoscritti

In un quadrilatero circoscritto a una circonferenza, le somme dei lati opposti sono congruenti. $$\overline{AB}+\overline{CD} \cong \overline{AD} \cong \overline{BC}$$ e viceversa.

Se ho un quadrilatero circoscritto a una circonferenza, i lati del quadrilatero sono tangenti alla circonferenza.

In questo caso la somma di due lati opposti AD+BC è uguale alla somma degli altri due lati opposti AB+CD.

Vale anche il teorema opposto.

Se in un quadrilatero le somme dei lati opposti sono congruenti, allora il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza.

Pertanto, la congruenza delle somme dei lati opposti è una condizione necessaria e sufficiente affinché il quadrilatero sia circoscrivibile.

La dimostrazione

Considero un quadrilatero ABCD circoscritto a una circonferenza con centro O.

I punti di tangenza del quadrilatero con la circonferenza sono E, F, G, H.

Secondo il teorema delle tangenti di una circonferenza i segmenti AE≅AH sono congruenti, perché il vertice A è un punto esterno alla circonferenza e appartiene a due segmenti tangenti alla circonferenza.

$$\overline{AE} \cong \overline{AH}$$

Per la stessa ragione sono congruenti anche gli altri segmenti:

$$\overline{BE} \cong \overline{BF}$$

$$\overline{CG} \cong \overline{CF}$$

$$\overline{DG} \cong \overline{DH}$$

Indico le varie congruenze sul quadrilatero.

Sapendo che le somme di segmenti congruenti sono a loro volta dei segmenti congruenti, sommo membro a membro tutte le congruenze precedenti.

$$\overline{AE}+\overline{BE} +\overline{CG} + \overline{DG} \cong \overline{AH} + \overline{BF} + \overline{CF} +\overline{DH}$$

Poi applico la proprietà associativa dell'addizione.

$$( \overline{AE}+\overline{BE} ) + ( \overline{CG} + \overline{DG} ) \cong ( \overline{AH} + \overline{DH}) + ( \overline{BF} + +\overline{CF} )$$

Poiché AB=AE+BE

$$\overline{AB} + ( \overline{CG} + \overline{DG} ) \cong ( \overline{AH} + \overline{DH}) + ( \overline{BF} + \overline{CF} )$$

Inoltre, CD=CG+DG

$$\overline{AB} + \overline{CD} \cong ( \overline{AH} + \overline{DH}) + ( \overline{BF} + \overline{CF} )$$

Sapendo che AD=AH+DH

$$\overline{AB} + \overline{CD} \cong \overline{AD} + ( \overline{BF} + \overline{CF} )$$

Infine, poiché BC=BF+CF

$$\overline{AB} + \overline{CD} \cong \overline{AD} + \overline{BC}$$

Questo dimostra che le somme dei lati opposti del quadrilatero sono congruenti.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note aggiuntive sul teorema

• Il quadrato e il rombo sono due quadrilateri sempre circoscrivibili a una circonferenza
• Nel quadrato i punti di tangenza alla circonferenza coincidono con i punti medi dei lati.
  

E così via.