ProprietÓ delle operazioni matematiche

Le proprietà formali delle operazioni matematiche sono le seguenti

La proprietà commutativa

Proprietà commutativa dell'addizione

In un'addizione cambiando l'ordine degli addendi, la somma non cambia. $$ a+b = b+a $$

Ad esempio

$$ 4+3 = 3+4 $$

$$ 7 = 7 $$

La proprietà commutativa non vale per la sottrazione.

Ad esempio

$$ 4-3 \ne 3-4 $$

$$ 1 \ne -1 $$

Proprietà commutativa della moltiplicazione

In una moltiplicazione cambiando l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

Ad esempio

$$ 4 \cdot 3 = 3 \cdot 4 $$

$$ 12 = 12 $$

La proprietà commutativa non vale per la divisione.

Ad esempio

$$ 10 : 5 \ne 5 : 10 $$

$$ 2 \ne 0.5 $$

La proprietà associativa

Proprietà associativa dell'addizione

La somma di tre numeri a, b, c non cambia se si associano gli addendi in modo diverso lasciando invariato l'ordine degli addendi $$ (a+b)+c = a+(b+c) $$

Ad esempio

$$ (2+5)+3 = 2+(5+3) $$

$$ 7+3 = 2+8 $$

$$ 10 = 10 $$

La proprietà associativa non vale, invece, per la sottrazione

Ad esempio

$$ (2-5)-3 \ne 2-(5-3) $$

$$ -3-3 \ne 2-2 $$

$$ -3-3 \ne 2-2 $$

$$ -6 \ne 0 $$

Proprietà associativa della moltiplicazione

Il prodotto di tre numeri a, b, c non cambia se si associano i fattori in modo diverso lasciando l'ordine dei fattori invariato. $$ (a \cdot b ) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$

Ad esempio

$$ (2 \cdot 5) \cdot 3 = 2 \cdot (5 \cdot 3) $$

$$ 10 \cdot 3 = 2 \cdot 15 $$

$$ 30 = 30 $$

La proprietà associativa non vale, invece, per la divisione

$$ (8 : 4) : 2 \ne 8 : (4 : 2) $$

$$ 2 : 2 \ne 8 : 2 $$

$$ 1 \ne 4 $$

La proprietà distributiva

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

Il prodotto di un fattore a per una somma (b+c) è uguale alla somma dei prodotti ab+ac $$ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $$

Ad esempio

$$ 2 \cdot (3+4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 $$

$$ 2 \cdot 7 = 6 + 8 $$

$$ 14 = 14 $$

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione vale sia a sinistra che a destra perché la moltiplicazione gode della proprietà commutativa.

$$ (3+4) \cdot 2 = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 $$

$$ 7 \cdot 2 = 6 + 8 $$

$$ 14 = 14 $$

La proprietà distributiva della moltiplicazione vale anche rispetto alla sottrazione.

$$ (4-3) \cdot 2 = 4 \cdot 2 - 3 \cdot 2 $$

$$ 1 \cdot 2 = 8 - 6 $$

$$ 2 = 2 $$

Nota. La proprietà distributiva non è invece applicabile nel caso inverso dell'addizione rispetto alla moltiplicazione. $$ 2 + (3 \cdot 4) \ne ( 2 + 3 ) \cdot (2 + 4) $$ $$ 2 + 12 \ne 5 \cdot 6 $$ $$ 14 \ne 35 $$

Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione

La divisione di una somma (a+b) per un divisore c<>0 diverso da zero è uguale alla somma dei quozienti tra gli addendi e il divisore $$ (a+b):c = a:c + b:c $$

Ad esempio

$$ (4+8):2 = 4:2 + 8:2 $$

$$ 12:2 = 2 + 4 $$

$$ 6 = 6 $$

Nota. La proprietà distributiva della divisione vale sia rispetto all'addizione che alla sottrazione. $$ (4-8):2 = 4:2 - 8:2 $$ $$ -4:2 = 2 - 4 $$ $$ -2 = - 2 $$

La proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione vale solo a sinistra perché la divisione non è un'operazione commutativa.

$$ 10:(2+5) \ne 10:2 + 10:5 $$

$$ 10:7 \ne 5 + 2 $$

$$ 10:7 \ne 7 $$

E così via.

 


 

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