Area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari
L'area A di un quadrilatero con diagonali perpendicolari d1 e d2 può essere calcolata utilizzando la seguente formula: $$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$
In altre parole se il quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, posso calcolare la sua area moltiplicando le misure delle diagonali e dividendo il prodotto per 2
Questa formula deriva dal fatto che, quando le diagonali sono perpendicolari, il quadrilatero può essere suddiviso in quattro triangoli rettangoli.
Formule inverse. Le formule inverse forniscono un metodo per determinare la lunghezza di una diagonale conoscendo l'area del quadrilatero e la lunghezza dell'altra diagonale. Dalla formula dell'area, si può derivare: $$ d_1 = \frac{2A}{d_2} $$ e analogamente $$ d_2 = \frac{2A}{d_1} $$ Queste formule sono particolarmente utili quando si conosce l'area di un quadrilatero e una delle sue diagonali, e si desidera trovare la lunghezza dell'altra diagonale.
La dimostrazione
In generale, un quadrilatero è una figura geometrica piana composta da quattro lati di varie lunghezze.
Nell'insieme dei quadrilateri ci sono però figure geometriche, come rettangoli, rombi e quadrati, che hanno specifiche proprietà legate alle loro diagonali.
Ad esempio, il rombo permette di calcolare l'area moltiplicando il prodotto della diagonale maggiore per la diagonale minore e dividendo il prodotto per due. Questa proprietà non vale solo per il rombo che ha lati uguali, bensì per tutti i quadrilateri con le diagonali perpendicolari.
I quadrilateri con diagonali perpendicolari consentono di calcolare l'area a partire dalla lunghezza delle diagonali.
Quando le diagonali di un quadrilatero sono perpendicolari tra loro, si intersecano formando quattro angoli retti.
Quindi, l'area del quadrilatero può essere suddivisa in quattro triangoli rettangoli ODC, OAD, OBC e OAB.
Sommando le aree dei quattro triangoli, si ottiene l'area totale del quadrilatero.
$$ A = A_{ODC} + A_{OAD} + A_{OBC} + A_{OAB} $$
L'area di ogni triangolo si calcola moltiplicando la base per altezza diviso due.
$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OC} }{2} + \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OA} }{2} + \frac{ \overline{OB} \cdot \overline{OC} }{2} + \frac{ \overline{OB} \cdot \overline{OA} }{2} $$
$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OC} + \overline{OD} \cdot \overline{OA} + \overline{OB} \cdot \overline{OC} + \overline{OB} \cdot \overline{OA} \ }{2} $$
$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot( \overline{OC} + \overline{OA} ) + \overline{OB} \cdot ( \overline{OC} + \overline{OA} ) \ }{2} $$
Sapendo che la diagonale d1=OC+OA
$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot d_1 + \overline{OB} \cdot d_1 \ }{2} $$
$$ A= \frac{ d_1 \cdot ( \overline{OD} + \overline{OB} }{2} $$
Poiché la diagonale d2=OD+OB
$$ A= \frac{ d_1 \cdot d_2 }{2} $$
Il risultato finale è la formula che volevo dimostrare.
L'area del quadrilatero con le diagonali perpendicolari è uguale al prodotto delle diagonali diviso due.
E così via.
