Le grandezze proporzionali

Due coppie di grandezze omogenee A, B e C, D dove B e D sono grandezze non nulle, sono dette grandezze proporzionali se sono uguali i rapporti A/B e C/D $$ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} $$ che si può scrivere anche $$ A:B = C:D $$

Questo significa che A sta a B come C sta a D. In termini più semplici, la proporzione indica che il rapporto tra A e B è lo stesso rapporto che c'è tra C e D.

$$ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} $$

Si legge "A sta a B come C sta a D".

La proporzione è una relazione di equivalenza ed è valida solo quando B e D sono non nulli, poiché la divisione per zero non è definita in matematica.

Come nelle proporzioni tra numeri anche la proporzione tra grandezze le grandezze A e D sono dette estremi, mentre le grandezze B e C sono dette medi.

I numeratori dei rapporti (A e C) sono detti antecedenti, mentre i denominatori (B e D) sono detti conseguenti.

Nota. Non occorre che tutte le grandezze siano omogenee, è sufficiente che siano grandezze omogenee i numeratori e che siano grandezze omogenee i denominatori. Quindi, la proporzione può essere fatta anche tra due grandezze non omogenee.

La proporzione tra grandezze è molto utile in matematica, in geometria e in fisica perché permette di risolvere problemi di vario tipo.

Un esempio pratico

Considero una situazione in cui un'auto "blu" ha percorso una distanza di 100 km in 2 ore, mentre un'altra auto "rossa" ha percorso una distanza sconosciuta \( D \) in 4 ore.

Voglio trovare la distanza percorsa \( D \) dall'auto rossa assumendo per ipotesi che entrambe le auto abbiano viaggiato alla stessa velocità costante.

Le grandezze che sto confrontando sono la distanza percorsa e il tempo impiegato. Posso impostare la proporzione come segue:

\[ \frac{\text{Distanza}_1}{\text{Tempo}_1} = \frac{\text{Distanza}_2}{\text{Tempo}_2} \]

In questo caso conosco già tutte le informazioni sull'auto blu (distanza e tempo) ma solo il tempo percorso dell'auto rossa.

\[ \frac{100\, \text{km}}{2\, \text{ore}} = \frac{D\, \text{km}}{4\, \text{ore}} \]

Per rispondere trovare la distanza percorsa dall'auto rossa, devo risolvere la proporzione per \( D \):

\[ \frac{100}{2} = \frac{D}{4} \]

\[ 50 = \frac{D}{4} \]

\[ D = 50 \times 4 \]

\[ D = 200\, \text{km} \]

Quindi, l'auto rossa ha percorso 200 km in 4 ore, se ha mantenuto la stessa velocità dell'auto blu.

Questa è la soluzione del problema.

\[ \frac{100\, \text{km}}{2\, \text{ore}} = \frac{200\,  \text{km}}{4\, \text{ore}} \]

Le due coppie di grandezze sono grandezze proporzionali perché il rapporto è lo stesso.

$$ 50 \ \text{km/h} = 50 \ \text{km/h} $$

Entrambe le automobili viaggiano a 50 chilometri orari.

Nota. Questo esempio mostra come le proporzioni possano essere utilizzate per risolvere problemi pratici, in particolare quando si hanno grandezze omogenee negli antecedenti e nei conseguenti (in questo caso, distanza e tempo) e si assume una relazione costante tra di esse (la velocità costante).

Le proprietà delle proporzioni tra grandezze

Le proprietà delle proporzioni tra grandezze sono principi matematici che descrivono il rapporto costante tra due o più grandezze. Alcune delle proprietà più importanti delle proporzioni includono:

• Proprietà fondamentale
  Questa proprietà stabilisce che il prodotto dei mezzi è uguale al prodotto degli estremi in una proporzione.

  $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

• Proprietà dell'invertire
  Questa proprietà indica che si può invertire l'ordine dei termini di una proporzione.

  $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $$

• Proprietà del permutare
  Questa proprietà indica che si possono scambiare i mezzi o gli estremi di una proporzione.

  $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $$

• Proprietà del comporre
  Questa proprietà implica che la somma dei conseguenti ai rispettivi antecedenti delle grandezze proporzionali è ancora proporzionale.

  $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $$

• Proprietà dello scomporre
  E' la proprietà opposta alla proprietà del comporre.

  $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $$

• Proprietà dell'accrescere e diminuire
  Questa proprietà indica che la proprorzione non cambia se si somma o si sottrae lo stesso numero \( n \) agli antecedenti e ai conseguenti di ogni proporzione,  per ogni numero \( n \) che non rende il denominatore zero.

  $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow\frac{a+n}{b+n} = \frac{c+n}{d+n} $$ $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a-n}{b-n} = \frac{c-n}{d-n} $$

• Proprietà dei multipli
  La proporzione non cambia se si moltiplica il termine antecedente e conseguente di una proporzione per uno stesso numero reale diverso da zero.
  

  $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a \cdot h}{b \cdot h} = \frac{c}{d} \ \ \ se \ \ \ h \ne 0 $$ $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{c \cdot k}{d \cdot k} \ \ \ se \ \ \ k \ne 0 $$

• Proprietà della catena dei rapporti uguali
  Se tre coppie di grandezze omogenee formano proporzioni uguali, allora la proporzione tra la somma dei termini antecedenti e la somma dei termini conseguenti è uguale a ciascuna delle proporzioni originali.

  $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}  \Longleftrightarrow \frac{a+c+e}{b+d+f}  = \frac{a}{b} $$

Queste proprietà sono essenziali per risolvere problemi che coinvolgono proporzioni in diversi campi.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine sulle grandezze proporzionali.

• Corollario
  Se due coppie di grandezze omogenee A, B e C, D sono grandezze proporzionali, allora anche le loro misure  sono proporzionali. $$ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Longleftrightarrow \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{M(C)}{M(D)}  $$

  Dimostrazione. Sapendo dal teorema del rapporto che il rapporto tra le grandezze A/B è uguale al rapporto delle misure M(A)/M(B), deduco che se due rapporti tra grandezze omogenee sono uguali $ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} $, allora lo sono anche i rapporti tra le rispettive misure $ \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{M(C)}{M(D)} $

• Le proporzioni continue
  Una proporzione tra grandezze omogenee è detta proporzione continua, se i due medi sono uguali $$ A:X = X:D $$ Dove X è l'elemento medio proporzionale.
• Teorema della quarta proporzionale
  Date tre grandezze omogenee A, B, C non nulle, esiste una e una sola grandezza D tale che A:B=C:D $$ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} $$

  Nota. La quarta proporzionale è determinata dalle grandezze A, B, C $$ D= C \cdot \frac{B}{A} $$

E così via.