Grandezze direttamente proporzionali
Le grandezze direttamente proporzionali sono due grandezze omogenee che hanno una relazione lineare tra loro.
Questo significa che se aumenta la quantità di una grandezza, l'altra aumenta in modo proporzionale, e viceversa.
Matematicamente, due grandezze A e B sono direttamente proporzionali se esiste una costante k tale che:
$$ A = k \cdot B $$
La costante k è nota come coefficiente di proporzionalità o rapporto di proporzionalità.
$$ k = \frac{A}{B} $$
In altre parole, fra le due grandezze esiste una corrispondenza biunivoca.
Presi due elementi a1 e a2 qualsiasi dell'insieme della grandezza A, il loro rapporto è uguale al rapporto tra gli elementi corrispondenti b1 e b2 dell'insieme della grandezza B.
$$ \frac{a_1}{a_2 }= \frac{b_1}{b_2} $$
che equivale alla proporzione "a1 sta a a2 come b1 sta a b2"
$$ a_1 : a_2 = b_1 : b_2 $$
Ovviamente, purché a2 e b2 siano non nulli, altrimenti si verificherebbe una divisione per zero ovvero un'operazione impossibile.
Ad esempio, se A è direttamente proporzionale a B con un coefficiente di proporzionalità k=2, allora quando B è 3, A sarà 6, e quando B è 5, A sarà 10.
Ad esempio, considero due elementi di A , 1 e 4, il cui rapporto è uguale a 0,25 $$ \frac{1}{4} = 0.25 $$ Gli elementi corrispondenti dell'insieme B sono 2 e 8 e il loro rapporto è sempre 0.25 $$ \frac{2}{8} =0.25 $$
In un grafico, le grandezze direttamente proporzionali sono rappresentate da una linea retta che passa per l'origine.
Il teorema della proporzionalità diretta
La condizione necessaria e sufficiente affinché due grandezze omogenee A e B siano direttamente proporzionali è:
- Presi due elementi uguali di A, a questi corrispondono due elementi uguali di B.
- La somma di due elementi di A corrisponde alla somma degli elementi corrispondenti di B.
Queste due condizioni garantiscono la corrispondenza biunivoca tra le grandezze A e B.
E così via.
