Il teorema del rapporto tra le grandezze omogenee

Il rapporto tra due grandezze omogenee A e B è la misura di A usando B come unità di misura. $$ r = \frac{A}{B} \Longleftrightarrow A = r \cdot B $$Se B non è una grandezza nulla, il rapporto tra le grandezze A/B è anche uguale al rapporto delle misure M(A)/M(B) delle due grandezze rispetto a qualsiasi unità di misura. $$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} $$

E' una relazione fondamentale dei rapporti tra le grandezze in matematica, in geometria e fisica.

Quando si parla di due grandezze omogenee, A e B, il rapporto tra queste due grandezze A/B è definito come la misura di A utilizzando B come unità di misura.

$$ \frac{A}{B} $$

La parte importante di questo concetto è che, se B non è una grandezza nulla (cioè, B non è zero), allora il rapporto A/B è sempre uguale al rapporto delle misure M(A)/M(B), indipendentemente dall'unità di misura usata.

$$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} $$

Questa formula mostra che il rapporto tra due grandezze omogenee è costante e non dipende dalle unità di misura specifiche usate per misurare A e B

Questo mi permette di confrontare le grandezze in un modo che è indipendente dalle unità di misura specifiche.

E' anche noto come principio di invarianza delle rapporto di grandezze omogenee.

Indipendenza dalle unità di misura. Questo concetto è fondamentale in molti campi della scienza e dell'ingegneria, in particolare nella fisica e nella matematica, dove le grandezze vengono spesso confrontate e misurate in diversi sistemi di unità. Il rapporto rimane costante, indipendentemente da queste conversioni. In particolar modo quando si tratta di proporzioni e rapporti di scala.  

Un esempio pratico

Ho due segmenti A e B.

Il segmento A misura 10 centimetri, mentre il segmento B misura 5 centimetri.

Per determinare il rapporto tra le lunghezze di questi due segmenti, possiamo semplicemente dividere la lunghezza del segmento A per quella del segmento B. Quindi, il rapporto è

$$ \frac{10 \ cm}{5 \ cm} = 2 \ cm $$

Questo significa che il segmento A è due volte più lungo del segmento B.

Nota. È importante ricordare che B non deve essere zero. Un rapporto che coinvolge uno zero (come divisore) è indefinito, il che porta a situazioni matematiche senza senso. La divisione per zero è impossibile.

Se cambio le unità di misura, per esempio, misurando i segmenti in millimetri anziché in centimetri, avrei che il segmento A è lungo 100 mm (poiché 1 cm = 10 mm) e il segmento B è lungo 50 mm.

Il rapporto tra i due segmenti rimane invariato:

$$ \frac{100 \ mm}{50 \ mm} = 2 \ cm $$

Questo esempio mostra che quando si confrontano due grandezze omogenee, come la lunghezza di due segmenti, il loro rapporto rimane costante indipendentemente dalle unità di misura utilizzate.

Il principio di invarianza del rapporto nelle grandezze derivate

Il principio di invarianza del rapporto vale anche per le grandezze derivate come la densità (massa/volume) o la velocità (distanza/tempo).

In questo caso però occorre fare attenzione perché il rapporto è tra grandezze non omogenee, quindi è necessario convertire le unità di misura in modo appropriato per confrontare i rapporti in modo significativo.

Nota. In altre parole, mentre il rapporto tra grandezze omogenee è diretto e non richiede conversioni aggiuntive, il rapporto tra grandezze non omogenee richiede una conversione attenta delle unità di misura per assicurare che il confronto sia corretto e significativo.

Esempio

Devo calcolare la velocità di un'auto. In questo caso, le grandezze omogenee sono la distanza percorsa (A) e il tempo impiegato (B).

$$ \text{Velocità} = \frac{\text{Distanza}}{\text{Tempo}}  $$

Misuro le due grandezze usando come unità di misura i chilometri per la grandezza A e le ore per la grandezza B

• Misura della distanza (A): 120 chilometri
• Misura del tempo (B): 2 ore

Il rapporto tra queste due grandezze, la velocità, è dato da:

$$ \text{Velocità} = \frac{\text{Distanza}}{\text{Tempo}} = \frac{120 \text{ km}}{2 \text{ ore}} = 60 \text{ km/ora} $$

Ora, cambio le unità di misura in metri e secondi:

• Distanza in metri: 120,000 metri (poiché 1 km = 1,000 metri)
• Tempo in secondi: 7,200 secondi (poiché 1 ora = 3,600 secondi)

Il rapporto che rappresenta ancora la velocità diventa il seguente:

$$ \text{Velocità} = \frac{120,000 \text{ metri}}{7,200 \text{ secondi}} = 16.67 \text{ metri/secondo} $$

Anche se le unità di misura sono cambiate, il rapporto rimane costante.

Se converto 60 km/ora in metri/secondo (ricordando che 1 km/ora è uguale a circa 0.27778 metri/secondo), ottengo:

$$ 60 \text{ km/ora} \times 0.27778 \text{ m/s per km/ora} = 16.67 \text{ metri/secondo} $$

Questo esempio è un'applicazione pratica che il rapporto tra due grandezze omogenee rimane costante a prescindere dalle unità di misura utilizzate.

La dimostrazione

La dimostrazione è suddivisa in due parti:

1] Il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto tra le loro misure

Per ipotesi iniziale considero due grandezze omogenee A e B, con B≠0 diversa da zero, e un'unità di misura U.

$$ M(A) = a \cdot U $$

$$ M(B) = b \cdot U $$

La misura M(A) è "a" volte l'unità di misura U, mentre la misura M(B) è "b" volte l'unità di misura U.

Il rapporto tra le due grandezze è il seguente

$$ r = \frac{A}{B} $$

Pertanto, posso considerare A come "r" volte B

$$ A = r \cdot B $$

Se rappresento le grandezze A e B con l'unità di misura U ottengo che A=a·U e B=b·U

$$ a \cdot U = r \cdot ( b \cdot U ) $$

Divido entrambi i membri per l'unità di misura e ottengo

$$ a = r \cdot b $$

Ovvero

$$ r = \frac{a}{b} $$

Quindi il rapporto tra le grandezze r=A/B è uguale al rapporto tra i coefficienti dell'unità di misura U

$$ r = \frac{A}{B} = \frac{a}{b} $$

L'unità di misura U è invece scomparsa dopo la semplificazione.

Il rapporto tra le misure è il seguente:

$$ \frac{M(A)}{M(B)} $$

Sapendo che M(A)=a·U e M(B)=b·U

$$ \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a \cdot U}{b \cdot U} $$

Semplifico e ottengo ciò che volevo

$$ \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a \cdot U}{b \cdot U} = \frac{a}{b}   $$

In conclusione, il rapporto tra le grandezze A/B è uguale al rapporto tra le misure M(A)/M(B)

$$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a}{b} = r $$

Questo dimostra la tesi a partire dalle ipotesi iniziali.

Nota. Da notare che le unità di misura U non appaiono nel rapporto tra le grandezze dopo la semplificazione algebrica.

2] Il rapporto tra due grandezze omogenee è indipendente dall'unità di misura scelta

Considero un'unità di misura diversa U' per misurare le grandezze omogenee A e B

$$ M(A) = a' \cdot U' $$

$$ M(B) = b' \cdot U' $$

Il rapporto tra le grandezze A e B è il seguente

$$ r = \frac{A}{B} $$

Sostituisco le grandezze con le misure

$$ r = \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a' \cdot U'}{b' \cdot U'} = \frac{a'}{b'} $$

Anche in questo caso il rapporto è indipendente dall'unità di misura U' che ho scelto.

Osservazioni

Alcune osservazioni sul principio di invaranza del rapporto tra due grandezze omogenee

• Il principio di invarianza delle rapporto di grandezze omogenee è strettamente legato ad altri concetti fondamentali come:
  • Proporzionalità diretta
    Quando due grandezze variano in modo tale che il loro rapporto rimanga costante.
  • Invarianza del rapporto
    L'idea che il rapporto tra due grandezze omogenee rimane invariato indipendentemente dalle unità di misura utilizzate.
• Dimensionalità e omogeneità
  Un punto fondamentale è che le grandezze A e B devono essere omogenee, il che significa che devono avere la stessa dimensione o unità di misura di base.

  Ad esempio, posso calcolare il rapporto tra due lunghezze o tra due masse, ma non ha senso fisico calcolare il rapporto tra una lunghezza e una massa.

E così via.