I terzili

Cosa sono i terzili

I terzili sono due indici di posizione (quantili) che dividono una distribuzione statistica in tre parti uguali.

Ogni parte è un gruppo con lo stesso numero di elementi.

Esistono due terzili

• Il primo terzile (T₁) raggruppa a sinistra 1/3 degli elementi (33,33%) della distribuzione, lasciando a destra i restanti 2/3 degli elementi (66,67%).
• Il primo terzile (T₂) raggruppa a sinistra 2/3 degli elementi (66,67%) della distribuzione, lasciando a destra il restante 1/3 degli elementi (33,33%).

Esempio. In questa seriazione il primo terzile T₁=5,5 e il secondo terzile T₂=8,5 dividono la distribuzione in tre parti uguali. $$ X = \{ \underbrace{3,4,5},\color{red}{T_1}, \underbrace{6,7,8}, \color{red}{T_2}, \underbrace{9,10,11} \} $$

Come calcolare i terzili

Per calcolare i terzili devo distinguere tra le seriazioni e le distribuzioni in classi di frequenza.

Seriazioni

Per calcolare i terzili di una seriazione (serie di valori)

1. Ordino la distribuzione in modo crescente
2. Moltiplico il numero degli elementi per p=1/3 nel caso di T₁ e per p=2/3 nel caso di T₂ $$ k = n \cdot p $$
3. Calcolo la posizione del terzile
   • Se il prodotto k è un numero intero, ottengo il primo terzile facendo la media tra il k-esimo e il (k+1)-esimo elemento della distribuzione.
   • Se il prodotto k non è intero, ottengo il primo terzile arrotondando per eccesso k al primo intero successivo.

Distribuzioni di frequenze

Per calcolare i terzili in una distribuzione di frequenze

• Calcolo il cumulato delle frequenze assolute in ogni classe della distribuzione
• Divido il cumulato totale delle frequenze per 1/3 e per 2/3. In questo modo trovo la posizione del primo terzile (T₁) e del secondo terzile (T₂) nelle frequenze cumulate.
• Individuo l'intervallo delle frequenze cumulate in cui cadono le posizioni dei terzili T₁ e T₂. Le rispettive classi di frequenza sono i terzili della distribuzione.

Nota. Esistono diversi metodi per calcolare i terzili. Alcuni metodi usano l'interpolazione lineare per trovare il valore del terzile in una classe. Altri metodi, invece, approssimano il terzile al valore medio della classe.

Un esempio pratico

Esempio 1

Considero questa distribuzione composta da n=9 elementi

$$ X = \{ 9,6,11,8,4,7,10,3,5 \} $$

Ordino la distribuzione X in modo crescente

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,9,10,11 \} $$

Per calcolare il primo terzile (T₁) moltiplico il numero degli elementi (n=9) per 1/3

$$ k = n \cdot \frac{1}{3} = 9 \cdot \frac{1}{3} =3 $$

Il prodotto è un numero intero.

Quindi calcolo la media dei valori tra il terzo (k=3) e il quarto (k+1=4) elemento della seriazione.

$$ X = \{ 3,4,\underbrace{5,6},7,8,9,10,11 \} $$

Il terzo elemento è il valore 5 mentre il quarto elemento è il valore 6.

$$ T_1 = \frac{5+6}{2} = 5,5 $$

Pertanto, il primo terzile della distribuzione X è il valore T₁=5,5

$$ T_1 = 5,5 $$

Per calcolare il secondo terzile (T₂) moltiplico il numero degli elementi (n=9) per 2/3

$$ k = n \cdot \frac{2}{3} = 9 \cdot \frac{2}{3} =6 $$

Il prodotto è un numero intero.

Quindi calcolo la media tra il valore del sesto elemento (k=6) e quello del settimo elemento (k+1=7) della seriazione.

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,\underbrace{8,9},10,11 \} $$

Il sesto elemento è il valore 8 mentre il settimo elemento è il valore 9.

$$ T_2 = \frac{8+9}{2} = 8,5 $$

Pertanto, il secondo terzile è il valore T₂=8,5

$$ T_2 = 8,5 $$

Complessivamente i due terzili T₁ = 5,5 e T₂ = 8,5 dividono la distribuzione in tre parti uguali.

$$ X = \{ \underbrace{3,4,5},\color{red}{T_1}, \underbrace{6,7,8}, \color{red}{T_2}, \underbrace{9,10,11} \} $$

Nota. In questo caso i due terzili sono valori che non appartengono alla distribuzione X.

Esempio 2

Considero la precedente distribuzione eliminando un elemento.

Ora la distribuzione è composta da n=8 elementi

$$ X = \{ 9,6,8,4,7,10,3,5 \} $$

Ordino la distribuzione X in modo crescente

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,8,9,10 \} $$

Per calcolare il primo terzile (T₁) moltiplico il numero degli elementi (n=8) per 1/3

$$ k = n \cdot \frac{1}{3} = 8 \cdot \frac{1}{3} =2,66 $$

Il prodotto non è un numero intero.

Quindi approssimo il primo terzile al primo intero successivo di 2,66 ossia k=3

$$ X = \{ 3,4,\color{red}5,6,7,8,9,10,11 \} $$

Il terzo elemento è il valore 5

Pertanto, il primo terzile della distribuzione X è il valore T₁=5

$$ T_1 = 5 $$

Per calcolare il secondo terzile (T₂) moltiplico il numero degli elementi (n=8) per 2/3

$$ k = n \cdot \frac{2}{3} = 8 \cdot \frac{2}{3} =5,33 $$

Il prodotto non è un numero intero.

Quindi approssimo il secondo terzile al primo intero successivo di 5,33 ossia k=6

$$ X = \{ 3,4,5,6,7,\color{red}8 ,9,10,11 \} $$

Il sesto elemento è il valore 8.

Pertanto, il secondo terzile è il valore T₂=8

$$ T_2 = 8 $$

Complessivamente i due terzili T₁ = 5 e T₂ = 8 dividono la distribuzione in tre parti uguali.

$$ X = \{ \underbrace{3,4},\color{red}{5}, \underbrace{6,7}, \color{red}{8}, \underbrace{9,10} \} $$

Nota. In questo caso i due terzili sono valori che appartengono alla distribuzione X.

Esempio 3

Considero questa distribuzione di frequenze.

In questo caso i voti dell'esame sono le modalità in cui si è presentato il fenomeno mentre il numero degli studenti sono le rispettive frequenze assolute.

Per trovare i terzili aggiungo la colonna delle frequenze cumulate dalla prima classe in poi.

Il totale delle frequenze cumulate è f_tot=40

Per trovare il primo terzile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 1/3

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{1}{3} = 40 \cdot \frac{1}{3} = 13,3 $$

Il risultato 13,3 è compreso nell'intervallo 13-16 delle frequenze cumulate.

Pertanto, il primo terzile è la classe T₁=22

Per trovare il secondo terzile moltiplico le frequenze cumulate f_tot=40 per 2/3

$$ k =f_{tot} \cdot \frac{2}{3} = 40 \cdot \frac{2}{3} = 26,6 $$

Il risultato 26,6 è compreso nell'intervallo 22-30 delle frequenze cumulate.

Pertanto, il secondo terzile è la classe T₂=25

 

E così via.