Teorema della conservazione della connessione
Se \( X \) è uno spazio topologico connesso e \( f : X \to Y \) è una funzione continua, allora \( f(X) \) è un sottoinsieme connesso di \( Y \).
In altre parole, l'immagine continua di un insieme connesso è a sua volta connessa.
Se prendo uno spazio connesso \( X \) e lo trasformo con una funzione continua \( f \), allora l’insieme dei punti ottenuti \( f(X) \) rimane connesso, perché una funzione continua non può spezzare un insieme connesso in due pezzi separati.
In questi casi la connessione viene conservata.
Che cosa significa connesso? Uno spazio è connesso se non posso dividerlo in due parti aperte, non vuote e separate. Ad esempio un segmento è un insieme connesso di punti. Viceversa, due punti separati non lo sono.
Un esempio pratico
Considero lo spazio topologico
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
L’intervallo chiuso \( [0,1] \) è connesso, intuitivamente è un “pezzo unico”, senza buchi.
Ora definisco una funzione $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $
$$ f(x) = 2x $$
La funzione è continua e l'’immagine dell’intervallo è
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
Anche l’immagine \( f(X) = [0,2] \) è connessa.
Quindi, la connessione si è conservata.
Nota. Per non essere connessa dovrei trovare due insiemi aperti \( U \) e \( V \), disgiunti ( \( U \cap V = \emptyset \) ) e non vuoti ( \( U \ne \emptyset \) , \( V \ne \emptyset \) ), tali che la loro unione copra interamente \( f(X) \) ossia \( f(X) \subset U \cup V \). Ma questo è impossibile perché qualsiasi coppia di insiemi aperti disgiunti che interseca $ [0,2] $ lascerebbe fuori almeno un punto dell'intervallo $ [0,2] $ producendo una separazione impossibile di un intervallo reale. Di conseguenza $ [0,2] $ è connesso.
Esempio 2
Considero lo spazio topologico $ X $
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
L’intervallo \( [0,1] \) è connesso.
Definisco la funzione \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \)
$$ f(x) = 0 $$
La funzione \( f(X) \) è continua e l'immagine è
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
Geometricamente, l’intervallo \( [0,1] \) viene schiacciato, si accartoccia in un unico punto ($ 0 $).
Tuttavia, l’immagine $ f(X) $ è ancora connessa perché l'insieme \( \{ 0 \} \) è un insieme non vuoto, ha un unico elemento e non può essere diviso in due parti separate.
Quindi, la connessione dell'immagine si è conservata.
Nota. La funzione ha “piegato” l’intervallo, ma non lo ha spezzato. Qualsiasi funzione continua definita su un intervallo, non può trasformarlo in due pezzi separati, né può produrre un insieme disgiunto. Può schiacciare uno spazio, identificare punti diversi o perdere dimensione ma non può spezzare la connessione. Per ottenere un’immagine non connessa servirebbe una discontinuità.
La dimostrazione
L’idea chiave è una dimostrazione è per assurdo.
Suppongo che \( X \) è uno spazio connesso e l'immagine continua \( f(X) \) non è connessa.
Se \( f(X) \) non è connesso, allora esistono due insiemi aperti \( U \) e \( V \) che separano \( f(X) \) cioè \( f(X) \subset U \cup V \) e ogni punto di \( f(X) \) sta o in \( U \) o in \( V \), ma mai in entrambi
E qui sta il punto cruciale. Se \( f \) è continua, sapendo che la controimmagine di un aperto è aperta, deduco che:
- \( f^{-1}(U) \) è aperto in \( X \)
- \( f^{-1}(V) \) è aperto in \( X \)
Nasce però una contraddizione
Dato che \( U \) e \( V \) contengono punti di \( f(X) \), allora \( f^{-1}(U) \) e \( f^{-1}(V) \) non sono vuoti, coprono tutto \( X \) e sono disgiunti.
Questo vuol dire che \( X \) viene separato in due aperti disgiunti non vuoti.
Ma questo è impossibile, perché \( X \) è uno spazio connesso.
La contraddizione dimostra che l'ipotesi iniziale è falsa, quindi è vero il contrario ossia "l’immagine continua di un insieme connesso è connessa".
Nota. In altre parole, una funzione continua si può piegare o schiacciare, ma non può creare buchi o strappi. Per spezzare un insieme in due serve una discontinuità.
E così via.
