Teorema della connessione tramite la chiusura
Sia \( X \) uno spazio topologico e sia \( C \) un sottoinsieme connesso di \( X \). Se un insieme \( A \) contiene \( C \) ed è contenuto nella chiusura di \( C \) \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] allora \( A \) è un insieme connesso in \( X \).
In altre parole, se parto da un insieme connesso e aggiungo dei punti che stanno a contatto con l'insieme, senza inserire salti o separazioni, non posso ottenere un insieme spezzato.
In questo caso so già che \( C \) è un insieme connesso, quindi non ha “buchi” interni. Inoltre, l'insieme \( A \) contiene \( C \), quindi non toglie nulla.
Poiché \( A \) è contenuto nella chiusura di \( C \), può aggiungere solo dei punti che non sono isolati da \( C \), ossia dei punti " a contatto" diretto con \( C \).
Di conseguenza, la connessione di \( C \) si trasmette anche ad \( A \).
Un esempio pratico
Considero lo spazio topologico \( X = \mathbb{R} \) con la topologia standard e un intervallo $ C $.
$$ C = (0,1) $$
L’insieme \( C \) è connesso in \( \mathbb{R} \), perché è un intervallo.
La chiusura di \( C \) è
\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]
Ora scelgo un insieme \( A \) tale che \( C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \). Ad esempio:
\[ A = (0,1] \]
In questo caso $ C $ contiene $ A $
$$ C \subset A $$
$$ (0,1) \subset (0,1] $$
Inoltre, $ A $ è un sottoinsieme della chiusura di $ C $
$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$
$$ (0,1] \subset [0,1] $$
Quindi, l'insieme anche \( A = (0,1] \) è connesso in \( \mathbb{R} \).
In altre parole, ho preso un insieme connesso \( (0,1) \) e ho aggiunto solo un punto “attaccato”, il punto \( 1 \). Non ho inserito alcuna separazione.
Per questo motivo anche l’insieme $ A $ è connesso in \( \mathbb{R} \).
La dimostrazione
Considero uno spazio topologico \( X \) e un insieme connesso \( C \subset X \).
Poi prendo un insieme \( A \) tale che
\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]
Per dimostrare che \( A \) è connesso in \( X \), procedo per assurdo suppenendo che \( A \) NON sia connesso in \( X \).
Se non è connesso, allora esiste una separazione di \( A \), cioè esistono due insiemi \( U \) e \( V \) tali che:
- \( U \) e \( V \) sono aperti in \( X \)
- \( A \subset U \cup V \) ossia \( U \cup V \) ricoprono \( A \)
- \( A \cap U \neq \varnothing \) e \( A \cap V \neq \varnothing \)
- \( (A \cap U) \cap (A \cap V) = \varnothing \) che equivale a \( A \cap U \cap V = \varnothing \) ossia \( U \) e \( V \) non si sovrappongono in \( A \).
Ora considero l’insieme \( C \).
Poiché \( C \subset A \), posso scrivere:
\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]
Inoltre:
\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]
Quindi \( C \) risulta scritto come unione di due insiemi disgiunti.
Gli insiemi \( C \cap U \) e \( C \cap V \) sono aperti in \( C \) (con la topologia di sottospazio), perché sono intersezioni di \( C \) con aperti di \( X \).
Dunque \( C \) sarebbe separato da \( C \cap U \) e \( C \cap V \), a meno che uno dei due sia vuoto.
Ma \( C \) è connesso, quindi non può avere una separazione.
Perciò uno dei due deve essere vuoto:
\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{oppure} \quad \cap V = \varnothing \]
Ad esempio assumo che \( C \cap V \) sia vuoto :
\[ C \cap V = \varnothing \]
Questo significa che \( C \) è contenuto interamente nell'insieme aperto \( U \).
\[ C \subset U \]
Ora, poiché \( A \cap V \neq \varnothing \), scelgo un punto:
\[ x \in A \cap V \]
Dalla condizione \( A \subset \operatorname{Cl}(C) \) segue:
\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]
Ma \( x \in V \) e \( V \) è aperto in \( X \).
Questo implica che esiste un intorno aperto di \( x \), cioè proprio \( V \).
Poiché \( V \cap C = \varnothing \) l'intorno aperto di \( x \) non interseca \( C \).
Per definizione un punto \( x \) appartiene alla chiusura di un insieme \( Cl(C) \), se e solo se ogni intorno aperto di \( x \) interseca \( C \).
Quindi \( x \) non può appartenere alla chiusura di \( C \).
\[ x \in V \ \text{aperto}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]
Si verifica una contraddizione, perché avevo ottenuto \( x \in \operatorname{Cl}(C) \).
Quindi l’ipotesi “\( A \) non è connesso” è falsa. Pertanto, è vero il suo contrario
\[ A \ \text{è connesso in} \ X \]
E questo conclude la dimostrazione.
E così via.
