Teorema della connessione dei sottospazi
Un sottoinsieme \( A \) di uno spazio topologico \( X \) si dice connesso in \( X \) quando, preso \( A \) con la topologia di sottospazio ereditata da \( X \), \( A \) risulta essere un insieme connesso.
Questo teorema estende la definizione di connesso e disconnesso anche ai sottoinsiemi di uno spazio topologico.
Quindi, non definisce se uno spazio topologico intero è connesso o disconnesso, bensì se un suo sottoinsieme è connesso o disconnesso rispetto allo spazio che lo contiene.
Nota. In altre parole, guardo l'insieme \( A \), gli applico la topologia che eredita da \( X \) e mi chiedo se in questa topologia, si può dividere \( A \) in due pezzi aperti e separati. Se è possibile \( A \) è disconnesso in \( X \), se non è possibile allora \( A \) è connesso in \( X \).
Un esempio pratico
Considero lo spazio topologico dei numeri reali \( \mathbb{R} \) e un sottospazio \( A \)
$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$
Questo insieme ha un buco nel punto \( 0 \).
Infatti contiene tutto da -1 a 0 (escluso 0) e tutto da 0 a 1 (escluso 0).
Quel buco, lo zero, divide l’insieme in due pezzi:
- da -1 a 0 (escluso)
- da 0 (escluso) a 1
I due pezzi sono:
$$ U = [-1,0) $$
$$ V = (0,1] $$
Questi due pezzi sono aperti in A nel senso di sottospazio.
Non si toccano, non si sovrappongono, e messi insieme ridanno tutto \( A \). Questa è esattamente la definizione di insieme disconnesso.
$$ U \cap V = \emptyset $$
$$ U \cup V = A $$
Quindi il sottospazio \( A \) è disconnesso in \( \mathbb{R} \).
E così via.
